Akūts, strups, vienādsānu, vienādmalu… Runājot par trijstūriem, ir daudz dažādu šķirņu, taču tikai dažas ir “īpašas”. Šiem īpašajiem trijstūriem ir malas un leņķi, kas ir konsekventi un paredzami, un tos var izmantot, lai ātri atrisinātu ģeometrijas vai trigonometrijas problēmas. Un trijstūris 30-60-90 — izrunā 'trīsdesmit sešdesmit deviņdesmit' — patiešām ir ļoti īpašs trīsstūra veids.

Šajā rokasgrāmatā mēs izskaidrosim, kas ir 30-60-90 trīsstūris, kāpēc tas darbojas un kad (un kā) izmantot savas zināšanas par to. Tātad ķersimies pie tā!

Kas ir trijstūris 30-60-90?

Trijstūris 30-60-90 ir īpašs taisnleņķa trīsstūris (taisnstūra trīsstūris ir jebkurš trīsstūris, kas satur 90 grādu leņķi), kuram vienmēr ir 30 grādu, 60 grādu un 90 grādu leņķi. Tā kā tas ir īpašs trīsstūris, tam ir arī malu garuma vērtības, kas vienmēr ir konsekventā attiecībās viena ar otru.

Pamata trijstūra attiecība 30-60-90 ir:

Puse, kas ir pretēja 30° leņķim: $x$

Puse, kas ir pretēja 60° leņķim: $x * √3$

Puse pretī 90° leņķim: x$

Piemēram, 30-60-90 grādu trīsstūra malu garums var būt:

2, 2√3, 4

7, 7√3, 14

√3, 3, 2√3

iestatīt atdalītāju java

(Kāpēc garākā kāja ir 3? Šajā trīsstūrī īsākā daļa ($x$) ir $√3$, tāpēc garākajai daļai $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Un hipotenūza ir 2 reizes garāka par īsāko kāju jeb √3$)

Un tā tālāk.

Puse, kas ir pretēja 30° leņķim, vienmēr ir mazākā , jo 30 grādi ir mazākais leņķis. Puse, kas atrodas pretī 60° leņķim, būs vidēja garuma , jo 60 grādi ir vidēja lieluma grādu leņķis šajā trīsstūrī. Un, visbeidzot, puse, kas ir pretēja 90° leņķim, vienmēr būs lielākā puse (hipotenūza) jo 90 grādi ir lielākais leņķis.

Lai gan tas var izskatīties līdzīgi cita veida taisnleņķa trijstūriem, 30-60-90 trīsstūris ir tik īpašs, jo jums ir nepieciešamas tikai trīs informācijas daļas, lai atrastu visus pārējos mērījumus. Kamēr jūs zināt divu leņķu mēru vērtību un vienas malas garumu (nav svarīgi, kura puse), jūs zināt visu, kas jums jāzina par savu trīsstūri.

Piemēram, mēs varam izmantot trijstūra formulu 30-60-90, lai aizpildītu visas atlikušās tālāk norādīto trīsstūru informācijas ailes.

1. piemērs

Mēs redzam, ka tas ir taisnleņķa trīsstūris, kurā hipotenūza ir divreiz garāka par vienas kājas garumu. Tas nozīmē, ka tam ir jābūt 30-60-90 trīsstūrim, un mazākā dotā mala atrodas pretī 30°.

Tāpēc garākajai kājai ir jāatrodas pretī 60° leņķim, un tās izmēriem jābūt *√3$ vai √3$.

2. piemērs

abc ar cipariem

Mēs redzam, ka tam ir jābūt 30-60-90 trīsstūrim, jo ​​mēs redzam, ka tas ir taisnleņķa trīsstūris ar vienu noteiktu mērījumu 30°. Neatzīmētajam leņķim tad jābūt 60°.

Tā kā 18 ir mērs pretī 60° leņķim, tam jābūt vienādam ar $x√3$. Īsākās kājas izmēram jābūt 18 $/√3 $.

(Ņemiet vērā, ka kājas garums faktiski būs 18 ASV dolāri/{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3 $, jo saucējs nevar ietvert radikāli/kvadrātsakni).

Un hipotenūza būs (18/√3)$

(Ņemiet vērā, ka saucējā nevar būt radikāls, tāpēc galīgā atbilde patiešām būs 2 reizes lielāka par kājas garumu √3$ => √3$).

3. piemērs

Atkal mums ir doti divi leņķa mērījumi (90° un 60°), tāpēc trešais pasākums būs 30°. Tā kā šis ir 30-60-90 trīsstūris un hipotenūza ir 30, īsākā daļa būs vienāda ar 15 un garākā daļa būs vienāda ar 15√3.

Nav nepieciešams konsultēties ar maģisko astoņu bumbu — šie noteikumi vienmēr darbojas.

Kāpēc tas darbojas: 30-60-90 trīsstūra teorēmas pierādījums

Bet kāpēc šis īpašais trīsstūris darbojas tā, kā tas darbojas? Kā mēs zinām, ka šie noteikumi ir likumīgi? Apskatīsim, kā darbojas trijstūra 30-60-90 teorēma, un pierādīsim, kāpēc šie malu garumi vienmēr būs konsekventi.

Pirmkārt, uz sekundi aizmirsīsim par taisnleņķa trijstūriem un apskatīsim a vienādmalu trīsstūris.

Vienādmalu trīsstūris ir trijstūris, kuram ir vienādas malas un vienādi leņķi. Tā kā trijstūra iekšējie leņķi vienmēr ir 180° un 0/3 = 60$, vienādmalu trīsstūrim vienmēr būs trīs 60° leņķi.

interneta trūkumi

Tagad pazemināsim augstumu no augstākā leņķa līdz trijstūra pamatnei.

Mēs tagad esam izveidoja divus taisnleņķus un divus kongruentus (vienādus) trīsstūrus.

Kā mēs zinām, ka tie ir vienādi trīsstūri? Jo mēs nokritām augstumā no an vienādmalu trīsstūris, mēs esam sadalījuši pamatni tieši uz pusēm. Jaunajiem trīsstūriem ir arī viens malas garums (augstums), un tiem katram ir vienāds hipotenūzas garums. Tā kā tiem ir kopīgi trīs sānu garumi (SSS), tas nozīmē trijstūri ir kongruenti.

Piezīme: abi trijstūri ir ne tikai saskanīgi, pamatojoties uz sānu malu garuma jeb SSS principiem, bet arī balstās uz sānu leņķa sānu mērījumiem (SAS), leņķa leņķa sāniem (AAS) un leņķa-sānu. sānu leņķis (ASA). Būtībā? Tie noteikti ir saskanīgi.

Tagad, kad esam pierādījuši divu jauno trīsstūru sakritības, varam redzēt, ka augšējiem leņķiem katram ir jābūt vienādam ar 30 grādiem (jo katram trijstūrim jau ir 90° un 60° leņķi, un tiem jāsaskaita 180°). Tas nozīmē esam izveidojuši divus trijstūrus 30-60-90.

Un, tā kā mēs zinām, ka mēs pārgriežam vienādmalu trīsstūra pamatni uz pusēm, mēs varam redzēt, ka katra mūsu 30-60-90 trijstūra mala, kas ir pretēja 30° leņķim (īsākā mala), ir tieši puse no hipotenūzas garuma. .

Tātad nosauksim mūsu sākotnējo sānu garumu $x$ un sadalīto garumu $x/2$.

Tagad mums atliek tikai atrast mūsu vidus malas garumu, kas ir kopīgs abiem trijstūriem. Lai to izdarītu, mēs varam vienkārši izmantot Pitagora teorēmu.

$a^2 + b^2 = c^2$

$(x/2)^2 + b^2 = x^2$

$b^2 = x^2 — ({x^2}/4)$

$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$

$b^2 = {3x^2}/4$

$b = {√3x}/2$

Tātad mums atliek: $x/2, {x√3}/2, x$

Tagad reizināsim katru mēru ar 2, lai atvieglotu dzīvi un izvairītos no visām daļskaitļiem. Tādā veidā mums atliek:

$x$, $x√3$, x$

Tāpēc mēs varam redzēt, ka 30-60-90 trīsstūris būs vienmēr ir konsekvents sānu garums $x$, $x√3$ un x$ (vai $x/2$, ${√3x}/2$ un $x$).

Par laimi, mēs varam pierādīt, ka 30-60-90 trīsstūra noteikumi ir patiesi bez visa...tā.

Kad lietot 30-60-90 trīsstūra noteikumus

Zinot trijstūra 30-60-90 noteikumus, varēsiet ietaupīt laiku un enerģiju, veicot daudzas dažādas matemātikas problēmas, proti, dažādas ģeometrijas un trigonometrijas problēmas.

Ģeometrija

Pareiza izpratne par trijstūriem 30-60-90 ļaus jums atrisināt ģeometrijas jautājumus, kurus nebūtu iespējams atrisināt, nezinot šos attiecību noteikumus, vai vismaz būtu nepieciešams ievērojams laiks un pūles, lai atrisinātu 'tālo ceļu'.

Izmantojot īpašās trijstūra attiecības, varat noskaidrot trūkstošos trīsstūra augstumus vai kāju garumus (neizmantojot Pitagora teorēmu), atrast trijstūra laukumu, izmantojot trūkstošo augstuma vai bāzes garuma informāciju, un ātri aprēķināt perimetrus.

vairāku rindiņu komentāru powershell

Ikreiz, kad jums ir nepieciešams ātrums, lai atbildētu uz jautājumu, noderēs tādu īsinājumtaustiņu atcerēšanās kā 30-60-90 noteikumi.

Trigonometrija

Trijstūra attiecības 30-60-90 iegaumēšana un izpratne ļaus arī atrisināt daudzas trigonometrijas problēmas bez nepieciešamības pēc kalkulatora vai nepieciešamības tuvināt atbildes decimāldaļās.

Trijstūrim 30-60-90 ir diezgan vienkārši sinusa, kosinusa un pieskares katram leņķim (un šie mērījumi vienmēr būs konsekventi).

30° sinuss vienmēr būs /2$.

60° kosinuss vienmēr būs /2$.

Lai gan pārējie sinusu, kosinusu un pieskares ir diezgan vienkārši, šos divus ir visvieglāk iegaumēt un tie, visticamāk, parādīsies pārbaudēs. Tātad, zinot šos noteikumus, varēsiet pēc iespējas ātrāk atrast šos trigonometrijas mērījumus.

Padomi, kā atcerēties 30-60-90 noteikumus

Jūs zināt, ka šie attiecību 30-60-90 noteikumi ir noderīgi, bet kā saglabāt informāciju savā galvā? Lai atcerētos trijstūra noteikumus 30-60-90, ir jāatceras attiecība 1: √3 : 2 un jāzina, ka īsākais malas garums vienmēr ir pretējs īsākajam leņķim (30°) un garākais malas garums vienmēr ir pretējs lielākais leņķis (90°).

Daži cilvēki iegaumē attiecību, domājot: $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, jo secību “1, 2, 3” parasti ir viegli atcerēties. Viens piesardzības pasākums, izmantojot šo paņēmienu, ir atcerēties, ka garākā puse patiesībā ir x$, nē $x$ reiz $√3$.

Vēl viens veids, kā atcerēties savas attiecības, ir izmantojiet mnemonisku vārdu salikumu attiecībā 1: sakne 3: 2 to pareizajā secībā. Piemēram, “Džekija Mičela izsita Lū Gerigu un “uzvarēja arī Rūtiju”: viens, sakne trīs, divi. (Un tas ir patiess beisbola vēstures fakts!)

Spēlējiet ar savām mnemoniskajām ierīcēm, ja tās jūs neinteresē — dziediet dziesmas attiecību, atrodiet savas frāzes “viens, saknes trīs, divas” vai izdomājiet dzejoli ar attiecību. Varat pat atcerēties, ka trijstūris 30-60-90 ir puse vienādmalu, un no turienes izdomāt mērījumus, ja jums nepatīk tos iegaumēt.

Tomēr jums ir lietderīgi atcerēties šos 30-60-90 noteikumus, paturiet prātā šīs attiecības turpmākajos ģeometrijas un trigonometrijas jautājumos.

Iegaumēšana ir tavs draugs, tomēr tu vari to īstenot.

Piemērs 30-60-90 Jautājumi

Tagad, kad esam apskatījuši 30-60-90 trijstūri, kā un kāpēc, izskatīsim dažas prakses problēmas.

Ģeometrija

Būvstrādnieks noliec 40 pēdu kāpnes pret ēkas sāniem 30 grādu leņķī no zemes. Zeme ir līdzena, un ēkas sānu mala ir perpendikulāra zemei. Cik tālu ēkā sniedzas kāpnes, līdz tuvākajai pēdai?

Nezinot mūsu īpašos trijstūra noteikumus 30-60-90, mums būtu jāizmanto trigonometrija un kalkulators, lai atrastu šīs problēmas risinājumu, jo mums ir tikai vienas trīsstūra malas mērījums. Bet tāpēc, ka mēs zinām, ka tas ir a īpašs trīsstūris, mēs varam atrast atbildi dažu sekunžu laikā.

Ja ēka un zeme ir perpendikulāras viena otrai, tas nozīmē, ka ēka un zeme veido taisnu (90°) leņķi. Ir arī zināms, ka kāpnes saskaras ar zemi 30° leņķī. Tāpēc mēs varam redzēt, ka atlikušajam leņķim ir jābūt 60°, kas padara šo trīsstūri 30-60-90.

Tagad mēs zinām, ka šīs 30-60-90 hipotenūza (garākā puse) ir 40 pēdas, kas nozīmē, ka īsākā puse būs uz pusi mazāka. (Atcerieties, ka garākā mala vienmēr ir divreiz — x$ — tikpat gara kā īsākā mala.) Tā kā īsākā mala atrodas pretī 30° leņķim un šis leņķis ir kāpņu pakāpes mērs no zemes, tas nozīmē, ka kāpņu augšdaļa atduras pret ēku 20 pēdu augstumā no zemes.

Mūsu galīgā atbilde ir 20 pēdas.

java skaitītājs

Trigonometrija

Ja taisnleņķa trijstūrī sin Θ = /2$ un īsākais kājas garums ir 8. Kāds ir trūkstošās malas garums, kas NAV hipotenūza?

Tā kā jūs zināt savus 30-60-90 noteikumus, varat atrisināt šo problēmu, neizmantojot Pitagora teorēmu vai kalkulatoru.

Mums teica, ka šis ir taisnleņķa trijstūris, un mēs zinām no mūsu īpašajiem taisnleņķa trijstūra noteikumiem, ka sinusa 30° = /2$. Tāpēc trūkstošajam leņķim ir jābūt 60 grādiem, kas padara šo trīsstūri 30-60-90.

Un tā kā šis ir trijstūris 30-60-90, un mums teica, ka īsākā mala ir 8, hipotenūzai ir jābūt 16, bet trūkstošajai pusei jābūt * √3 $ jeb √3 $.

Mūsu galīgā atbilde ir 8√3.

Līdzņemamās preces

Atceroties 30-60-90 trīsstūriem paredzētie noteikumi palīdzēs jums atrisināt dažādas matemātikas problēmas. . Taču paturiet prātā, ka, lai gan zinot šos noteikumus, ir ērts rīks, ko paturēt savā jostā, jūs joprojām varat atrisināt lielāko daļu problēmu bez tiem.

Sekojiet līdzi noteikumiem $x$, $x√3$, x$ un 30-60-90 jebkādā veidā, kas jums šķiet saprātīgs, un mēģiniet tos ievērot, ja varat, taču nekrītiet panikā izslēdzas, kad ir pienācis gurkstēšanas laiks. Jebkurā gadījumā jums tas ir.

Un, ja jums ir nepieciešama vairāk prakses, turpiniet un pārbaudiet šo 30-60-90 trīsstūra viktorīna . Laimīgu testu kārtošanu!