Ja jūs studējat trigu vai aprēķinu vai gatavojaties tam, jums būs jāiepazīstas ar vienību apli. Vienības aplis ir būtisks rīks, ko izmanto, lai atrisinātu leņķa sinusu, kosinusu un tangensu. Bet kā tas darbojas? Un kāda informācija ir jāzina, lai to izmantotu?

Šajā rakstā mēs izskaidrojam, kas ir vienības aplis un kāpēc jums tas būtu jāzina. Mēs sniedzam arī trīs padomus, kas palīdzēs atcerēties, kā lietot vienību apli.

Funkcijas attēls: Gustavb /Wikimedia

Vienības aplis: pamata ievads

Vienības aplis ir aplis ar rādiusu 1. Tas nozīmē, ka jebkurai taisnei, kas novilkta no apļa centra punkta uz jebkuru punktu gar apļa malu, šīs līnijas garums vienmēr būs vienāds ar 1. (Tas arī nozīmē, ka apļa diametrs būs vienāds ar 2, jo diametrs ir vienāds ar divkāršu rādiusa garumu.)

Parasti vienības apļa centra punkts ir vieta, kur krustojas x ass un y ass, vai koordinātēs (0, 0):

Vienības aplis jeb trigu aplis, kā tas ir zināms, ir noderīgi zināt, jo tas ļauj mums viegli aprēķināt kosinusu, sinusu un tangensu jebkuram leņķim no 0° līdz 360° (vai 0 un 2π radiāniem).

Kā redzams iepriekš redzamajā diagrammā, zīmējot rādiusu jebkurā leņķī (attēlā atzīmēts ar ∝), jūs izveidosit taisnleņķa trīsstūri. Šajā trīsstūrī kosinuss ir horizontālā līnija, bet sinuss ir vertikālā līnija. Citiem vārdiem sakot, kosinuss =x-koordināta un sinusa = y-koordināta. (Trijstūra garākā līnija jeb hipotenūza ir rādiuss, un tāpēc tā ir vienāda ar 1.)

Kāpēc tas viss ir svarīgi? Atcerieties, ka varat atrisināt trīsstūra malu garumus, izmantojot Pitagora teorēma vai $a^2+b^2=c^2$ (kurā a un b ir trijstūra malu garumi un c ir hipotenūzas garums).

Mēs zinām, ka leņķa kosinuss ir vienāds ar horizontālās līnijas garumu, sinuss ir vienāds ar vertikālās līnijas garumu, un hipotenūza ir vienāda ar 1. Tāpēc mēs varam teikt, ka jebkura taisnleņķa trijstūra formula vienības aplī ir šāda:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Tā kā ^2=1$, mēs varam vienkāršot šo vienādojumu šādi:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Jāapzinās, ka šīs vērtības var būt negatīvas atkarībā no izveidotā leņķa un kādā kvadrantā ietilpst x un y koordinātas (to es paskaidrošu sīkāk vēlāk).

Šeit ir pārskats par visiem galvenajiem leņķiem grādos un radiānos uz vienības apļa:

Vienības aplis — grādi

Vienības aplis — radiāni

Bet ko darīt, ja nav izveidots trīsstūris? Apskatīsim kas notiek, ja leņķis ir 0°, veidojot horizontālu taisnu līniju gar x asi:

Šajā taisnē x-koordināta ir vienāda ar 1 un y-koordināta ir vienāda ar 0. Mēs zinām, ka kosinuss ir vienāds ar x koordinātu, un sinuss ir vienāds ar y koordinātu, lai mēs varētu uzrakstīt šo:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Kā būtu, ja leņķis ir 90° un veido pilnīgi vertikālu līniju gar y asi?

Šeit mēs redzam, ka x-koordināta ir vienāda ar 0 un y-koordināta ir vienāda ar 1. Tas dod mums šādas sinusa un kosinusa vērtības:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Šis sauklis noteikti ir spēkā, ja neesat matemātikas mīļotājs.

Kāpēc jums jāzina vienību aplis

Kā minēts iepriekš, vienību aplis ir noderīgs, jo tas ļauj mums viegli atrisināt jebkuras pakāpes vai radiāna sinusu, kosinusu vai tangensu. Īpaši noderīgi ir zināt vienību apļa diagrammu, ja jums ir jāatrisina noteiktas matemātikas mājasdarba trig vērtības vai ja gatavojaties mācīties skaitļošanu.

karte pret komplektu

Bet kā tieši vienību apļa pārzināšana var jums palīdzēt? Pieņemsim, ka matemātikas pārbaudē jums ir dota šāda problēma — un tā arī ir nē Lai to atrisinātu, ir atļauts izmantot kalkulatoru:

$$sin30°$$

Kur sākt? Apskatīsim vienību apļa diagrammu vēlreiz — šoreiz ar visiem galvenajiem leņķiem (gan grādos, gan radiānos) un to atbilstošajām koordinātām:

Džims.belks /Wikimedia

Nepārtraucieties! Atcerieties, ka jums jārisina tikai $sin30°$. Aplūkojot šo diagrammu, mēs to varam redzēt y-koordināta ir vienāda ar /2$ pie 30°. Un tā kā y-koordināta ir vienāda ar sinusu, mūsu atbilde ir šāda:

$$sin30°=1/2$$

Bet ko darīt, ja rodas problēma, kas izmanto radiānus, nevis grādus? Tās risināšanas process joprojām ir tāds pats. Pieņemsim, piemēram, rodas problēma, kas izskatās šādi:

$$cos{{3π}/4}$$

Atkal, izmantojot iepriekš redzamo diagrammu, mēs varam redzēt, ka x-koordināta (vai kosinuss) ${3π}/4$ (kas ir vienāds ar 135°) ir $-{√2}/2$. Lūk, kā tad izskatītos mūsu atbilde uz šo problēmu:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Tas viss ir diezgan vienkārši, ja jums ir iepriekš redzamā vienību apļa diagramma, ko izmantot kā atsauci. Bet lielāko daļu laika (ja ne visu) tas tā nenotiks, un jums būs jāatbild uz šāda veida matemātikas jautājumiem, izmantojot tikai savas smadzenes.

Tātad, kā jūs varat atcerēties vienības apli? Lasiet tālāk, lai uzzinātu mūsu labākos padomus!

Kā atcerēties vienības apli: 3 svarīgi padomi

Šajā sadaļā mēs sniedzam galvenos padomus, kā atcerēties trigu apli, lai jūs varētu to viegli izmantot jebkuram matemātikas uzdevumam, kam tas nepieciešams.

Es neieteiktu praktizēt vienības apli ar post-its, bet, he, tas ir sākums.

#1: iegaumējiet kopējos leņķus un koordinātas

Lai efektīvi izmantotu vienības apli, jums tas ir jādara iegaumēt visbiežāk sastopamos leņķus (gan grādos, gan radiānos), kā arī tiem atbilstošās x un y koordinātas.

Iepriekš redzamā diagramma ir noderīga vienību apļa diagramma, ko aplūkot, jo tā ietver visus galvenos leņķus gan grādos, gan radiānos, kā arī to atbilstošajiem koordinātu punktiem gar x un y asīm.

Šeit ir diagramma, kurā šī pati informācija norādīta tabulas veidā:

Tagad, kamēr jūs esat laipni aicināti mēģināt iegaumēt visas šīs koordinātas un leņķus, tas tā ir daudz lietas, kas jāatceras.

Par laimi, ir kāds triks, ko varat izmantot, lai palīdzētu atcerēties svarīgākās vienības apļa daļas.

Apskatiet iepriekš norādītās koordinātas un pamanīsit skaidru zīmējumu: visi punkti (izņemot tos, kas atrodas 0°, 90°, 270° un 360°) pārmaiņus izmantojiet tikai trīs vērtības (pozitīvas vai negatīvas):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Katra vērtība atbilst īsa, vidēja vai gara līnija gan kosinusam, gan sinusam:

Lūk, ko nozīmē šie garumi:

čaulas skripta padarīšana par izpildāmu

Īsa horizontāla vai vertikāla līnija= /2$ Vidēja horizontāla vai vertikāla līnija= ${√2}/2$ Gara horizontāla vai vertikāla līnija= ${√3}/2$

Piemēram, ja mēģināt atrisināt $cos{π/3}$, jums uzreiz jāzina, ka šis leņķis (kas ir vienāds ar 60°) norāda īsa horizontāla līnija uz vienības apļa. Tāpēc tā atbilstošajai x-koordinātai ir jābūt vienādai ar /2$ (pozitīva vērtība, jo $π/3$ rada punktu koordinātu sistēmas pirmajā kvadrantā).

Visbeidzot, lai gan ir noderīgi iegaumēt visus leņķus iepriekš tabulā, ņemiet vērā to neapšaubāmi vissvarīgākie leņķi, kas jāatceras, ir šādi:

• 30°/$p/6
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3 $

Izturieties pret saviem negatīvajiem un pozitīvajiem elementiem tāpat kā pret kabeļiem, kas var jūs nogalināt, ja tie tiks nepareizi pievienoti.

#2: uzziniet, kas ir negatīvs un kas ir pozitīvs

Ir ļoti svarīgi spēt atšķirt pozitīvās un negatīvās x un y koordinātas, lai atrastu pareizo palaišanas problēmas vērtību. Atgādinājumam, In tas, vai koordinātas vienības aplī būs pozitīva vai negatīva, ir atkarīgs no kurā kvadrantā (I, II, III vai IV) punkts ietilpst:

Šeit ir diagramma, kas parāda, vai koordināta būs pozitīva vai negatīva, pamatojoties uz kvadrantu, kurā atrodas konkrēts leņķis (grādos vai radiānos):

Piemēram, pieņemsim, ka matemātikas pārbaudē jums ir dota šāda problēma:

$$cos210°$$

Pirms mēģināt to atrisināt, jums vajadzētu spēt atpazīt, ka atbilde būs negatīvs skaitlis jo leņķis 210° iekrīt kvadrantā III (kur ir x koordinātes vienmēr negatīvs).

Tagad, izmantojot 1. padomā apgūto triku, varat saprast, ka 210° leņķis rada gara horizontāla līnija. Tāpēc mūsu atbilde ir šāda:

$$cos210°=-{√3}/2$$

Nr. 3: zināt, kā atrisināt tangentu

Visbeidzot, ir svarīgi zināt, kā izmantot visu šo informāciju par trigu apli un sinusu un kosinusu, lai varētu atrisināt leņķa tangensu.

Trig, lai atrastu leņķa θ tangensu (grādos vai radiānos), vienkārši dala sinusu ar kosinusu:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Piemēram, sakiet, ka mēģināt atbildēt uz šo problēmu:

$$ an300°$$

Pirmais solis ir izveidot vienādojumu sinusa un kosinusa izteiksmē:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Tagad, lai atrisinātu tangensu, mums jāatrod sinusa un kosinuss 300°. Jums vajadzētu spēt ātri atpazīt, ka 300° leņķis ietilpst ceturtajā kvadrantā, kas nozīmē to kosinuss jeb x-koordināta būs pozitīvs, un sinuss jeb y-koordināta būs negatīvs.

Jums arī tas nekavējoties jāzina rada 300° leņķis īsa horizontāla līnija un gara vertikāla līnija. Tāpēc kosinuss (horizontālā līnija) būs vienāds ar /2$, un sinuss (vertikālā līnija) būs vienāds ar $-{√3}/2$ (negatīva y vērtība, jo šis punkts atrodas IV kvadrantā). .

Tagad, lai atrastu tangensu, viss, kas jums jādara, ir jāpievieno un jāatrisina:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

mainiet nosaukumu direktorija Linux

$$ an300°=-√3$$

Laiks čakarēt savas matemātikas prasmes!

Vienības apļa prakses jautājumu komplekts

Tagad, kad zināt, kā izskatās vienības aplis un kā to izmantot, pārbaudīsim apgūto ar dažām prakses problēmām.

Jautājumi

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Atbildes

1. ${√2}/2$
2. $-1/2 $
3. /2$
4. $-√3 $

Atbilžu skaidrojumi

#1: $sin45°$

Ar šo problēmu ir divas informācijas daļas, kuras jums vajadzētu būt iespējai identificēt uzreiz:

Atbilde būs pozitīva,jo leņķis 45° atrodas I kvadrantā un leņķa sinuss ir vienāds ar y koordinātu

• 45° leņķis rada vidēja garuma vertikāla līnija (priekš viņiem)

Tā kā 45° norāda pozitīvu, vidēja garuma līniju, pareizā atbilde ir ${√2}/2$.

Ja nezināt, kā to izdomāt, uzzīmējiet diagrammu, kas palīdzēs noteikt, vai līnijas garums būs īss, vidējs vai garš.

#2: $cos240°$

Tāpat kā iepriekšminētajā 1. problēmā, ir divas informācijas daļas, kuras jums vajadzētu spēt ātri aptvert ar šo problēmu:

Atbilde būs negatīva,jo leņķis 240° atrodas III kvadrantā un leņķa kosinuss ir vienāds ar x-koordinātu

• 240° leņķis rada īsa horizontāla līnija (kosinusam)

Tā kā 240° norāda negatīvu, īsu līniju, pareizā atbilde ir $-1/2 $.

#3: $cos{5π}/3$

Atšķirībā no iepriekš minētajām problēmām, šī problēma tiek izmantota radiāni grādu vietā. Lai gan tādējādi problēma var izskatīties grūtāk risināma, patiesībā tā izmanto tās pašas pamatdarbības kā pārējās divas problēmas.

Pirmkārt, jums jāatzīst, ka leņķis ${5π}/3$ atrodas IV kvadrantā, tāpēc x-koordināta jeb kosinuss būs pozitīvs skaitlis. Jums arī jāspēj to pateikt${5π}/3$rada īsa horizontāla līnija.

Tas sniedz jums pietiekami daudz informācijas, lai to noteiktu uz atbilde ir /2$.

4: $ an{2π}/3$

Šī problēma ir saistīta ar tangensu, nevis sinusu vai kosinusu, kas nozīmē, ka mums būs nepieciešams nedaudz vairāk matemātikas. Vispirms atcerieties pieskares atrašanas pamatformula:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Tagad ņemsim mums piešķirto grādu — ${2π}/3$— un pievienojiet to šim vienādojumam:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Tagad jums vajadzētu būt iespējai atsevišķi atrisināt sinusu un kosinusu, izmantojot to, ko esat iegaumējis par vienības apli. Tā kā leņķis ${2π}/3$ atrodas II kvadrantā, x-koordināta (vai kosinuss) būs negatīva, un y-koordināta (vai sinusa) būs pozitīva.

Tālāk jums vajadzētu būt iespējai noteikt, pamatojoties tikai uz leņķi, kāds ir horizontālajai līnijai īsa līnija, un vertikālā līnija ir gara rinda. Tas nozīmē, ka kosinuss ir vienāds ar $-1/2$, bet sinuss ir vienāds ar ${√3}/2$.

Tagad, kad esam izdomājuši šīs vērtības, viss, kas mums jādara, ir jāiekļauj tās sākotnējā vienādojumā un jāatrisina pieskares:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Ko tālāk?

Ja drīz uzņemsit SAT vai ACT, jums būs jāzina daži parametri, lai jūs varētu labi veikt matemātikas sadaļu. Apskatiet mūsu ekspertu rokasgrāmatas, lai aktivizētu SAT un ACT, lai jūs varētu uzzināt tieši to, kas jums jāzina testa dienā!

Papildus vienību apļa iegaumēšanai, tā ir laba ideja, lai uzzinātu, kā pievienot skaitļus un kā pievienot atbildes. Izlasiet mūsu ceļvežus, lai uzzinātu visu par šīm divām noderīgajām stratēģijām, kuras varat izmantot jebkurā matemātikas pārbaudē, tostarp SAT un ACT!