Matemātikā eksponentu un pakāpju termini tiek izmantoti, ja skaitlis tiek reizināts ar sevi ar noteiktu reižu skaitu. Piemēram, 4 × 4 × 4= 64. To var arī īsi uzrakstīt kā 4³= 64. Šeit, 4³nozīmē, ka skaitlis 4 tiek reizināts ar sevi trīs reizes, un saīsinātā forma 4³ir eksponenciāla izteiksme. Skaitlis 4 ir bāzes skaitlis, savukārt skaitlis 3 ir eksponents, un doto eksponenciālo izteiksmi mēs nolasām kā 4, kas palielināta līdz 3. Eksponenciālajā izteiksmē bāze ir koeficients, kas tiek atkārtoti reizināts ar sevi, turpretim eksponents ir faktora parādīšanās reižu skaits.

Eksponentu un pilnvaru definīcija

Ja skaitli reizina ar sevi n reizes , iegūtā izteiksme ir pazīstama kā n-tā jauda no dotā numura. Starp eksponentu un jaudu ir ļoti maza atšķirība. Eksponents ir to reižu skaits, kad dots skaitlis ir reizināts ar sevi, savukārt pakāpe ir pamatskaitļa reizinājuma vērtība, kas palielināta līdz eksponentam. Ar skaitļu eksponenciālās formas palīdzību varam ērtāk izteikt ārkārtīgi lielus un mazus skaitļus. Piemēram, 100000000 var izteikt kā 1 × 10⁸, un 0,0000000000013 var izteikt kā 13 × 10^-13. Tas atvieglo skaitļu lasīšanu, palīdz saglabāt to precizitāti, kā arī ietaupa mūsu laiku.

Eksponentu un pilnvaru noteikumi

Eksponentu un pakāpju noteikumi izskaidro, kā saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt eksponentus, kā arī atrisināt dažāda veida matemātiskos vienādojumus, kas ietver eksponentus un pakāpes.

1. noteikums: Produktu eksponentu likums

Saskaņā ar šo likumu, reizinot eksponentus ar vienādām bāzēm, eksponenti tiek saskaitīti kopā.

Produkta eksponentu likums: a^m× aⁿ=a^(m+n)

string java aizstāt

2. noteikums: Eksponentu koeficientu likums

Saskaņā ar šo likumu, lai sadalītu divus eksponentus ar vienādām bāzēm, mums ir jāatņem eksponenti.

Eksponentu koeficienta noteikums: a^m/aⁿ=a^(m–n)

3. noteikums: spēka noteikuma spēks

Saskaņā ar šo likumu, ja eksponenciālais skaitlis tiek pacelts uz citu pakāpi, tad pakāpes tiek reizinātas.

Jaudas noteikuma spēks: (a^m)ⁿ=a^{(m × n)}

4. noteikums: produkta noteikuma spēks

Saskaņā ar šo likumu mums ir jāreizina dažādas bāzes un jāpaaugstina viens un tas pats eksponents bāzu reizinājumam.

Produkta noteikuma spēks: a^m× b^m=(a × b)^m.

5. noteikums: Koeficienta noteikuma spēks

Saskaņā ar šo likumu mums ir jāsadala dažādas bāzes un jāpaaugstina viens un tas pats eksponents bāzu koeficientam.

Koeficienta likuma spēks: a^m÷ b^m=(a/b)^m

6. noteikums: Nulles eksponenta noteikums

Saskaņā ar šo likumu, ja bāzes vērtība, kas paaugstināta līdz nulles pakāpei, ir 1.

Nulles eksponenta noteikums: a⁰=1

7. noteikums: negatīvā eksponenta noteikums

Saskaņā ar šo likumu, ja eksponents ir negatīvs, tad eksponentu mainot uz pozitīvu, ņemot eksponenciāla skaitļa apgriezto vērtību.

Negatīvā eksponenta noteikums: a^-m= 1/a^m

8. noteikums: daļskaitļa eksponenta noteikums

Saskaņā ar šo likumu, ja mums ir daļējs eksponents, tas rada radikālus.

Daļēja eksponenta noteikums: a^(1/n)=ⁿ√a

a^(m/n)=ⁿ√a^m

Ko nozīmē 10 ar pakāpi 4?

Risinājums:

Aprēķināsim vērtību no 10 līdz ceturtajai vidējai vērtībai, t.i., 10⁴

Mēs zinām, ka saskaņā ar eksponentu spēka likumu,

a^m= a × a × a… m reizes

Tāpēc mēs varam rakstīt 10⁴kā 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

Tāpēc

10 vērtība tiek palielināta līdz 4, t.i., 10⁴ir 10 000.

Problēmu paraugi

1. uzdevums: atrodiet 3. vērtību⁶.

Risinājums:

Dotā izteiksme ir 3⁶.

Dotās eksponenciālās izteiksmes bāze ir 3, savukārt eksponents ir 6, t.i., dotā izteiksme tiek nolasīta, kad 3 tiek palielināts līdz 6.

Tātad, paplašinot 3⁶, mēs iegūstam 3⁶= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Tādējādi vērtība 3⁶ir 729.

2. uzdevums: nosakiet izteiksmes (12) eksponentu un jaudu.⁵.

Risinājums:

java vērtība enum

Dotā izteiksme ir 12⁵.

Dotās eksponenciālās izteiksmes bāze ir 12, savukārt eksponents ir 5, t.i., dotā izteiksme tiek nolasīta, kad 12 tiek palielināts līdz 5. pakāpei.

3. problēma: novērtējiet (2/7)^-5× (2/7)⁷.

Risinājums:

Dots: (2/7)^-5×(2/7)⁷

Mēs zinām, ka a^m× aⁿ= a^{(m + n)}

Tātad, (2/7)^-5×(2/7)⁷= (2/7)^(-5+7)

= (2/7)²= 4/49

Tādējādi (2/7)^-5× (2/7)⁷= 4/49

4. uzdevums: atrodiet x vērtību dotajā izteiksmē: 5^3x-2= 625.

Risinājums:

Ņemot vērā, 5^3x-2= 625.

5^3x-2= 5⁴

Salīdzinot līdzīgas bāzes eksponentus, mēs iegūstam

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

Tādējādi x vērtība ir 2.

5. uzdevums: atrodiet k vērtību dotajā izteiksmē: (-2/3)⁴23)^{- piecpadsmit}= (23)^7k+3

Risinājums:

Ņemot vērā,

(-23)⁴23)^{- piecpadsmit}= (23)^7k+3

23)⁴23)^{- piecpadsmit}= (23)^7k+3{Kopš (-x)⁴= x⁴}

Mēs zinām, ka a^m× aⁿ= a^{(m + n)}

23)^4-15= (2/3)7k+3

23)^{- vienpadsmit}= (23)^7k+3

Salīdzinot līdzīgas bāzes eksponentus, mēs iegūstam

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

Tādējādi k vērtība ir -2.