Kad esat apguvis kvadrātvienādojumu formulu un kvadrātvienādojumu pamatus, ir pienācis laiks pāriet uz nākamo līmeni attiecībās ar parabolām: uzzināt par tām. virsotnes forma .

Lasiet tālāk, lai uzzinātu vairāk par parabolas virsotnes formu un to, kā pārvērst kvadrātvienādojumu no standarta formas uz virsotnes formu.

iezīme attēla kredīts: SBA73 /Flickr

Kāpēc Vertex forma ir noderīga? Pārskats

The virsotnes forma vienādojums ir alternatīvs veids, kā izrakstīt parabolas vienādojumu.

Parasti jūs redzēsit kvadrātvienādojumu, kas rakstīts kā $ax^2+bx+c$, kas, grafiski attēlojot, būs parabola. No šīs veidlapas ir pietiekami viegli atrast vienādojuma saknes (kur parabola saskaras ar $x$ asi), iestatot vienādojumu ar nulli (vai izmantojot kvadrātformulu).

Tomēr, ja jums ir jāatrod parabolas virsotne, standarta kvadrātveida forma ir daudz mazāk noderīga. Tā vietā jūs vēlaties pārvērst kvadrātvienādojumu virsotnes formā.

Kas ir virsotnes forma?

Kamēr standarta kvadrātiskā forma ir $ax^2+bx+c=y$, kvadrātvienādojuma virsotņu forma ir $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

Abās formās $y$ ir $y$-koordināta, $x$ ir $x$-koordināta, un $a$ ir konstante, kas norāda, vai parabola ir vērsta uz augšu ($+a$) vai uz leju. ($-a$). (Es domāju par to tā, it kā parabola būtu bļoda ar ābolu mērci; ja ir $+a$, es varu pievienot bļodiņai ābolu mērci; ja ir $-a $, es varu izkratīt ābolu mērci no bļodas.)

Atšķirība starp parabolas standarta formu un virsotnes formu ir tāda, ka vienādojuma virsotnes forma sniedz arī parabolas virsotni: $(h,k)$.

Piemēram, apskatiet šo smalko parabolu, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Pamatojoties uz grafiku, parabolas virsotne izskatās kā (-1,5,-2), taču ir grūti precīzi noteikt, kur atrodas virsotne tikai no grafika. Par laimi, pamatojoties uz vienādojumu $y=3(x+4/3)^2-2$, mēs zinām, ka šīs parabolas virsotne ir $(-4/3,-2)$.

Kāpēc virsotne ir $(-4/3,-2)$, nevis $(4/3,-2)$ (izņemot grafiku, kas skaidri parāda gan $x$-, gan $y$-koordinātas virsotnes ir negatīvas)?

Atcerieties: virsotņu formas vienādojumā $h$ tiek atņemts un $k$ pievienots . Ja jums ir negatīvs $h$ vai negatīvs $k$, jums ir jāatņem negatīvais $h$ un jāpievieno negatīvais $k$.

Šajā gadījumā tas nozīmē:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

un tā virsotne ir $(-4/3,-2)$.

Rakstot parabolu virsotnes formā, vienmēr vēlreiz pārbaudiet savas pozitīvās un negatīvās zīmes , it īpaši, ja virsotnei nav pozitīvu $x$ un $y$ vērtību (vai jums ir kvadrantu galviņas, ja tās nav I kvadrants ). Tas ir līdzīgs pārbaudei, ko veiktu, ja atrisinātu kvadrātformulu ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$), un tas ir nepieciešams, lai pārliecinātos, ka saglabājat pozitīvo un negatīvus tieši jūsu $a$s, $b$s un $c$s.

Zemāk ir tabula ar papildu piemēriem dažu citu parabolu virsotņu formu vienādojumiem, kā arī to virsotnēm. Īpaši ņemiet vērā atšķirību parabolas virsotnes vienādojuma daļā $(x-h)^2$, ja virsotnes $x$ koordināte ir negatīva.

Kā pārvērst no standarta kvadrātveida formas uz virsotnes formu

Lielāko daļu laika, kad jums tiek lūgts pārvērst kvadrātvienādojumus starp dažādām formām, jūs pārejat no standarta formas ($ax^2+bx+c$) uz virsotnes formu ($a(x-h)^2+k$ ).

Vienādojuma pārvēršanas process no standarta kvadrātveida uz virsotnes formu ietver darbību kopu, ko sauc par kvadrāta pabeigšanu. (Lai uzzinātu vairāk par laukuma pabeigšanu, noteikti izlasiet šo rakstu.)

Apskatīsim piemēru vienādojuma pārvēršanai no standarta formas uz virsotnes formu. Sāksim ar vienādojumu $y=7x^2+42x-3/14$.

Pirmā lieta, ko vēlaties darīt, ir pārvietot konstanti vai terminu bez $x$ vai $x^2$ blakus tam. Šajā gadījumā mūsu konstante ir $-3/14 $. (Mēs zinām, ka tā ir negatīvs $3/14$, jo standarta kvadrātvienādojums ir $ax^2+bx+c$, nevis $ax^2+bx-c$.)

Pirmkārt, mēs ņemsim tos USD-3/14 USD un pārvietosim uz vienādojuma kreiso pusi:

$y+3/14=7x^2+42x$

Nākamais solis ir 7 (vienādojuma $a$ vērtība) izņemšana no labās puses, piemēram:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Lieliski! Šis vienādojums daudz vairāk atgādina virsotnes formu, $y=a(x-h)^2+k$.

Šajā brīdī jūs varētu domāt: 'Viss, kas man tagad jādara, ir pārvietot USD 3/14 atpakaļ uz vienādojuma labo pusi, vai ne?' Diemžēl ne tik ātri.

Ja aplūkojat daļu no vienādojuma iekavās, jūs pamanīsit problēmu: tā nav $(x-h)^2$ formā. Ir pārāk daudz $x$s! Tātad mēs vēl neesam pabeiguši.

Tas, kas mums jādara tagad, ir grūtākā daļa — laukuma pabeigšana.

Sīkāk apskatīsim vienādojuma daļu $x^2+6x$. Lai $(x^2+6x)$ ņemtu vērā kaut ko līdzīgu $(x-h)^2$, mums būs jāpievieno konstante iekavās, un mums būs jāatceras pievienot šo konstanti arī vienādojuma otrai pusei (jo vienādojumam ir jāsaglabā līdzsvars).

Lai to iestatītu (un neaizmirstam pievienot konstanti vienādojuma otrai pusei), mēs izveidosim tukšu vietu, kur konstante atradīsies abās vienādojuma pusēs:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Ņemiet vērā, ka vienādojuma kreisajā pusē mēs noteikti iekļaujam mūsu $a$ vērtību 7 pirms atstarpes, kur tiks rādīta mūsu konstante; tas ir tāpēc, ka mēs ne tikai pievienojam konstanti vienādojuma labajā pusē, bet arī reizinām konstanti ar to, kas atrodas iekavās. (Ja jūsu $a$ vērtība ir 1, jums par to nav jāuztraucas.)

Nākamais solis ir pabeigt kvadrātu. Šajā gadījumā jūsu aizpildāmais kvadrāts ir vienādojums iekavās — pievienojot konstanti, jūs to pārvēršat vienādojumā, ko var uzrakstīt kā kvadrātu.

Lai aprēķinātu šo jauno konstanti, ņemiet vērtību blakus $x$ (šajā gadījumā 6), sadaliet to ar 2 un kvadrātā.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konstante ir 9.

Iemesls, kāpēc mēs sadalām 6 uz pusi un kvadrātā, ir tas, ka mēs zinām, ka vienādojumā formā $(x+p)(x+p)$ (to mēs cenšamies sasniegt), $px+px= 6x$, tātad $p=6/2$; lai iegūtu konstanti $p^2$, mums ir jāņem $6/2$ (mūsu $p$) un jākvadrātē.

Tagad aizstājiet tukšo vietu abās mūsu vienādojuma pusēs ar konstanti 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Pēc tam faktorējiet vienādojumu iekavās. Tā kā mēs pabeidzām kvadrātu, varēsiet to faktorēt kā $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Pēdējais solis: pārvietojiet vērtību, kas nav $y$, no vienādojuma kreisās puses atpakaļ uz labo pusi:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Apsveicam! Jūs esat veiksmīgi pārveidojis savu vienādojumu no standarta kvadrātveida uz virsotnes formu.

Tagad lielākā daļa problēmu ne tikai prasīs vienādojumus pārvērst no standarta formas uz virsotnes formu; viņi vēlēsies, lai jūs faktiski norādītu parabolas virsotnes koordinātas.

Lai netiktu maldināts ar zīmju izmaiņām, uzrakstīsim vispārīgo virsotņu formas vienādojumu tieši virs tikko aprēķinātā virsotņu formas vienādojuma:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Un tad mēs varam viegli atrast $h$ un $k$:

$-h = 3 $

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Šīs parabolas virsotne atrodas koordinātās $(-3,-{885/14})$.

Oho, tas bija daudz skaitļu jaukšanas! Par laimi, vienādojumu pārvēršana otrā virzienā (no virsotnes uz standarta formu) ir daudz vienkāršāka.

Kā pārvērst no virsotnes formas uz standarta formu

Vienādojumu pārvēršana no to virsotņu formas uz parasto kvadrātisko formu ir daudz vienkāršāks process: viss, kas jums jādara, ir reizināt virsotnes formu.

Ņemsim mūsu piemēra vienādojumu no iepriekšējā, $y=3(x+4/3)^2-2$. Lai to pārvērstu standarta formā, mēs vienkārši izvēršam vienādojuma labo pusi:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Jūs esat veiksmīgi konvertējis $y=3(x+4/3)^2-2$ formā $ax^2+bx+c$.

Parabola virsotnes formas prakse: jautājumu paraugi

Lai pabeigtu šo virsotņu formas izpēti, mums ir četri problēmu un skaidrojumu piemēri. Pirms izlasiet paskaidrojumus, pārbaudiet, vai varat atrisināt problēmas pats!

#1: Kāda ir kvadrātvienādojuma $x^2+ 2.6x+1.2$ virsotnes forma?

#2: Pārvērtiet vienādojumu $7y=91x^2-112$ virsotnes formā. Kas ir virsotne?

#3: Ņemot vērā vienādojumu $y=2(x-3/2)^2-9$, kādas ir $x$-koordinātas, kur šis vienādojums krustojas ar $x$-asi?

#4: Atrodiet parabolas $y=({1/9}x-6)(x+4)$ virsotni.

Parabola virsotnes formas prakse: risinājumi

1. Kāda ir kvadrātvienādojuma ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$ virsotņu forma?

Sāciet, atdalot mainīgo, kas nav $x$, vienādojuma otrā pusē:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Tā kā mūsu $a$ (tāpat kā $ax^2+bx+c$) sākotnējā vienādojumā ir vienāds ar 1, mums tas šeit nav jāizņem no labās puses (lai gan, ja vēlaties, varat rakstīt $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Pēc tam daliet koeficientu $x$ (2,6) ar 2 un kvadrātā, pēc tam pievienojiet iegūto skaitli abām vienādojuma pusēm:

$(2.6/2)^2=(1.3)^2=1.69$

$y-1.2+1(1.69)=1(x^2+2.6x+1.69)$

Iekavās vienādojuma labās puses koeficients:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Visbeidzot, apvienojiet konstantes vienādojuma kreisajā pusē, pēc tam pārvietojiet tās uz labo pusi.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Mūsu atbilde ir $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: pārveidojiet vienādojumu $7i y=91i x^2-112$ virsotnes formā. Kas ir virsotne?

Pārvēršot vienādojumu virsotnes formā, vēlaties, lai $y$ būtu koeficients 1, tāpēc pirmā lieta, ko mēs darīsim, ir sadalīt abas šī vienādojuma puses ar 7:

7 $ = 91 x ^ 2–112 $

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Pēc tam pārnesiet konstanti uz vienādojuma kreiso pusi:

$y+16=13x^2$

Izņemiet skaitļa $x^2$ ($a$) koeficientu no vienādojuma labās puses

$y+16=13(x^2)$

Tagad parasti jums būtu jāaizpilda kvadrāts vienādojuma labajā pusē iekavās. Tomēr $x^2$ jau ir kvadrāts, tāpēc jums nav jādara nekas, izņemot konstantes pārvietošanu no vienādojuma kreisās puses atpakaļ uz labo pusi:

$y=13(x^2)-16$.

Tagad, lai atrastu virsotni:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, tātad $h=0$

$+k=-16$, tātad $k=-16$

Parabolas virsotne atrodas pie $(0, -16)$.

#3: ņemot vērā vienādojumu $i y=2(i x-3/2)^2-9$, kas ir $i x$-koordinātas, kur šis vienādojums krustojas ar $i x$-ass?

Tā kā jautājums liek jums atrast vienādojuma $x$-pārgriezumu(-us), pirmais solis ir iestatīt $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Tagad ir daži veidi, kā turpināt. Viltīgs veids ir izmantot faktu, ka virsotnes formas vienādojumā jau ir ierakstīts kvadrāts, lai mūsu labā.

Pirmkārt, mēs pārvietosim konstanti uz vienādojuma kreiso pusi:

$0=2(x-3/2)^2-9$

9 ASV dolāri = 2 (x-3/2)^2 $

Tālāk mēs sadalīsim abas vienādojuma puses ar 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Tagad slēptā daļa. Ņemiet kvadrātsakni no vienādojuma abām pusēm:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±