Vektoru projekcija ir vektora ēna pār citu vektoru. Projekcijas vektoru iegūst, reizinot vektoru ar leņķa starp diviem vektoriem Cos. Vektoram ir gan lielums, gan virziens. Tiek uzskatīts, ka divi vektori ir vienādi, ja tiem ir vienāds lielums un virziens. Vektoru projekcija ir būtiska skaitlisko jautājumu risināšanā fizikā un matemātikā.

Šajā rakstā mēs detalizēti uzzināsim par to, kas ir vektoru projekcija, vektora projekcijas formulas piemēru, vektoru projekcijas formulu, vektoru projekcijas formulas atvasināšanu, vektoru projekcijas formulu lineāro algebru, vektoru projekcijas formulu 3d un dažus citus saistītos jēdzienus.

Satura rādītājs

• Kas ir vektorprojekcija?
• Vektoru projekcijas formula
• Vektoru projekcijas formulas atvasināšana
• Vektoru projekcijas formulu piemēri
• Vektoru projekcijas praktiskie pielietojumi un nozīme
• Vektoru projekcijas reālās pasaules problēmu risināšanas piemēri

Kas ir vektoru projekcija?

Vektoru projekcija ir vektora pagriešana un novietošana uz otrā vektora. Tādējādi vektors tiek iegūts, ja vektors tiek sadalīts divās komponentēs - paralēli un perpendikulāri. Paralēlo vektoru sauc par projekcijas vektoru. Tādējādi vektora projekcija ir vektora ēnas garums pār citu vektoru.

Vektora vektora projekciju iegūst, vektoru reizinot ar leņķa starp diviem vektoriem Cos. Pieņemsim, ka mums ir divi vektori “a” un “b”, un mums jāatrod vektora a projekcija uz vektoru b, tad mēs vektoru “a” reizinim ar cosθ, kur θ ir leņķis starp vektoru a un vektoru b.

Vektoru projekcijas formula

Javec Air attēlots kā A unvec Bir attēlots kā B, A vektora projekcija uz B ir norādīta kā A reizinājums ar Cos θ, kur θ ir leņķis starp A un B. Otra formula A vektora projekcijai uz B ir norādīta kā A un B reizinājums. B dalīts ar B lielumu. Iegūtais projekcijas vektors ir A skalārais daudzkārtnis, un tam ir virziens B virzienā.

Vektoru projekcijas formulas atvasināšana

Vektoru projekcijas formulas atvasināšana ir aplūkota tālāk:

Pieņemsim, ka OP =vec Aun OQ =vec Bun leņķis starp OP un OQ ir θ. Uzzīmēts PN perpendikulāri OQ.

Taisnajā trijstūrī OPN Cos θ = ON/OP

⇒ IESLĒGTS = IESLĒGTS Cos θ

⇒ IESLĒGTS = |vec A| Cos θ

ON ir projekcijas vektorsvec Aieslēgtsvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

aktuāls java datums

⇒ IESLĒGTS =frac{vec A.vec B}

Tādējādi ON =|vec A|.hat B

Tādējādi vektora projekcijavec Aieslēgtsvec Btiek dota kāfrac{vec A.vec B}

vektora projekcijavec Bieslēgtsvec Atiek dota kāfrac{vec A.vec B}

Pārbaudiet arī: Vektoru veidi

Vektoru projekcija Svarīgi noteikumi

Lai atrastu vektora projekciju, mums jāiemācās atrast leņķi starp diviem vektoriem un arī aprēķināt punktu reizinājumu starp diviem vektoriem.

Leņķis starp diviem vektoriem

Leņķis starp diviem vektoriem ir norādīts kā divu vektoru punktveida reizinājuma kosinusa apgrieztā vērtība, kas dalīta ar divu vektoru lieluma reizinājumu.

Pieņemsim, ka mums ir divi vektorivec Aunvec Bleņķis starp tiem ir θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

cilpai bash

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Divu vektoru punktu reizinājums

Pieņemsim, ka mums ir divi vektorivec Aunvec Bdefinēts kāvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kunvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k tad punktu reizinājums starp tiem tiek dots kā

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Saistīts raksts:

• Vektoru papildinājums
• Vienības vektors
• Vektoru algebra
• Lineārā algebra

Vektoru projekcijas formulu piemēri

Piemērs 1. Atrodiet vektora projekciju 4hat i + 2hat j + hat k ieslēgts 5hat i -3hat j + 3hat k .

Risinājums:

Šeit,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Mēs zinām, vektora a projekcija uz vektoru b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Piemērs 2. Atrodiet vektora projekciju 5hat i + 4hat j + hat k ieslēgts 3hat i + 5hat j – 2hat k

Risinājums:

Šeit,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Mēs zinām, vektora a projekcija uz vektoru b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Piemērs 3. Atrodiet vektora projekciju 5hat i – 4hat j + hat k ieslēgts 3hat i – 2hat j + 4hat k

Risinājums:

Šeit,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Mēs zinām, vektora a projekcija uz vektoru b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Piemērs 4. Atrodiet vektora projekciju 2hat i – 6hat j + hat k ieslēgts 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Risinājums:

Šeit,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Mēs zinām, vektora a projekcija uz vektoru b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

savienojiet java virkni

Piemērs 5. Atrodiet vektora projekciju 2hat i – hat j + 5hat k ieslēgts 4hat i – hat j + hat k .

Risinājums:

Šeit,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Mēs zinām, vektora a projekcija uz vektoru b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Pārbaudiet: Vektoru operācijas

Vektoru projekcijas praktiskie pielietojumi un nozīme

Fizika

• Spēka sadalīšanās : Fizikā vektora projekcijas formula ir ļoti svarīga, lai sadalītu spēkus komponentos, kas ir paralēli un perpendikulāri virsmām. Piemēram, lai saprastu spēku, ko virves iedarbojas virves vilkšanas spēlē, ir nepieciešams projicēt spēka vektoru virves virzienā.

• Darba aprēķins : Darbu, ko veic spēks pārvietošanas laikā, aprēķina, izmantojot vektora projekciju. Darbs ir spēka vektora un nobīdes vektora punktu reizinājums, būtībā projicējot vienu vektoru uz otru, lai atrastu spēka komponentu pārvietošanas virzienā.

Inženierzinātnes

• Strukturālā analīze : Inženieri izmanto vektoru projekciju, lai analizētu komponentu spriegumus. Projicējot spēka vektorus uz konstrukcijas asīm, tie var noteikt sprieguma komponentus dažādos virzienos, palīdzot veidot drošākas un efektīvākas konstrukcijas.

• Šķidruma dinamika : šķidruma dinamikā vektoru projekcija palīdz analizēt šķidruma plūsmu ap objektiem. Projicējot šķidruma ātruma vektorus uz virsmām, inženieri var pētīt plūsmas modeļus un spēkus, kas ir ļoti svarīgi aerodinamiskajā projektēšanā un hidrotehnikā.

Datorgrafika

• Renderēšanas metodes : Vektoru projekcija ir būtiska datorgrafikā ēnu un atspulgu atveidošanai. Projicējot gaismas vektorus uz virsmām, grafikas programmatūra aprēķina ēnu un atspulgu leņķus un intensitāti, uzlabojot 3D modeļu reālismu.

• Animācijas un spēļu izstrāde : animācijā vektora projekcija tiek izmantota, lai simulētu kustības un mijiedarbību. Piemēram, lai noteiktu, kā varonis pārvietojas pa nelīdzenu reljefu, ir jāprojicē kustības vektori uz reljefa virsmu, nodrošinot reālistiskas animācijas.

Pārbaudiet: Pamata vektori lineārajā algebrā

Vektoru projekcijas reālās pasaules problēmu risināšanas piemēri

1. piemērs: GPS navigācija

• Konteksts : GPS navigācijas sistēmās vektora projekciju izmanto, lai aprēķinātu īsāko ceļu starp diviem punktiem uz zemes virsmas.
• Pieteikums : projicējot pārvietošanās vektoru starp divām ģeogrāfiskām vietām uz zemes virsmas vektoru, GPS algoritmi var precīzi aprēķināt attālumus un virzienus, optimizējot ceļojuma maršrutus.

2. piemērs: sporta analīze

• Konteksts : sporta analītikā, īpaši futbolā vai basketbolā, vektoru projekcija palīdz analizēt spēlētāju kustības un bumbas trajektorijas.
• Pieteikums : Projicējot spēlētāju kustību vektorus uz spēles laukumu vai laukumu, analītiķi var izpētīt kustību modeļus, ātrumu un efektivitāti, tādējādi veicinot stratēģisko plānošanu un veiktspējas uzlabošanu.

3. piemērs. Atjaunojamās enerģijas inženierija

• Konteksts : Vēja turbīnu projektēšanā vēja spēka komponentu izpratne ir būtiska, lai optimizētu enerģijas ražošanu.
• Pieteikums : Inženieri projicē vēja ātruma vektorus turbīnas lāpstiņu plaknē. Šī analīze palīdz noteikt optimālo lāpstiņu leņķi un orientāciju, lai maksimāli palielinātu vēja enerģijas uztveršanu.

4. piemērs: paplašinātā realitāte (AR)

• Konteksts : paplašinātās realitātes lietojumprogrammās vektoru projekciju izmanto, lai precīzi novietotu virtuālos objektus reālās pasaules telpās.
• Pieteikums : projicējot vektorus no virtuālajiem objektiem uz reālās pasaules plaknēm, ko tver AR ierīces, izstrādātāji var nodrošināt, ka virtuālie objekti reālistiski mijiedarbojas ar vidi, uzlabojot lietotāja pieredzi.

Pārbaudiet: Vektora sastāvdaļas

Bieži uzdotie jautājumi par vektoru projekciju

Definējiet projekcijas vektoru.

Projekcijas vektors ir vektora ēna uz cita vektora.

Kas ir vektora projekcijas formula?

Vektora projekcijas formula ir dota kāfrac{vec A.vec B}

Kā atrast projekcijas vektoru?

Projekcijas vektors tiek atrasts, aprēķinot divu vektoru punktu reizinājumu, kas dalīts ar ēnu, uz kura tiek meta ēna.

Kādi jēdzieni ir nepieciešami projekcijas vektora aprēķināšanai?

Lai aprēķinātu vektora projekciju, mums jāzina leņķis starp diviem vektoriem un divu vektoru punktu reizinājums.

Kur tiek izmantots projekcijas vektors?

Projekcijas vektors tiek izmantots, lai atrisinātu dažādus fizikas skaitliskus uzdevumus, kuru gadījumā vektora daudzums ir jāsadala tā komponentos.

formatējiet datumu java

Kāda ir vektoru projekcijas nozīme fizikā?

Fizikā vektoru projekcija ir ļoti svarīga, lai sadalītu spēkus, aprēķinātu darbu, ko spēks veic noteiktā virzienā, un analizējot kustību. Tas palīdz saprast, kā dažādi vektora komponenti veicina efektus dažādos virzienos.

Vai vektora projekcija var būt negatīva?

Jā, vektora projekcijas skalārā komponente var būt negatīva, ja leņķis starp diviem vektoriem ir lielāks par 90 grādiem, norādot, ka projekcija iet pretējā virzienā no bāzes vektora.

Kā inženierzinātnēs izmanto vektoru projekciju?

Inženieri izmanto vektoru projekciju, lai analizētu strukturālos spriegumus, optimizētu dizainu, sadalot spēkus pārvaldāmos komponentos, un šķidruma dinamikā, lai pētītu plūsmas modeļus pret virsmām.

Kāda ir atšķirība starp skalāru un vektoru projekciju?

Skalārā projekcija norāda viena vektora lielumu cita vektora virzienā, un tā var būt pozitīva vai negatīva. No otras puses, vektora projekcija ne tikai ņem vērā lielumu, bet arī norāda projekcijas virzienu kā vektoru.

Kas ir vektoru projekcijas reālās pasaules pielietojumi?

Vektoru projekcijai ir lietojumprogrammas GPS navigācijā, sporta analīzē, datorgrafikā ēnu un atspulgu atveidošanai, kā arī paplašinātajā realitātē virtuālo objektu izvietošanai reālās pasaules telpās.