Šajā rakstā mēs apspriedīsim simetrisko atšķirību starp divām kopām. Šeit mēs arī apspriedīsim simetrisko atšķirību īpašības starp divām kopām.
Cerams, ka šis raksts jums noderēs, lai izprastu simetrisko atšķirību starp divām kopām.
Kāda ir simetriskā atšķirība?
Vēl viens atšķirības variants ir simetriskā atšķirība. Pieņemsim, ka ir divas kopas A un B. Simetriskā atšķirība starp abām kopām A un B ir kopa, kas satur elementus, kas atrodas abās kopās, izņemot kopīgos elementus.
Simetrisko atšķirību starp divām kopām sauc arī par disjunktīva savienība . Simetriskā atšķirība starp divām kopām ir elementu kopa, kas atrodas abās kopās, bet nav to krustpunktā. Simetrisko atšķirību starp divām kopām A un B attēlo ar A D B vai A ? B .
Mēs to varam saprast, izmantojot piemērus.
Piemērs1 Pieņemsim, ka ir divas kopas ar dažiem elementiem.
Kopa A = {1, 2, 3, 4, 5}
Kopa B = {3, 5}
Tātad simetriskā atšķirība starp dotajām kopām A un B ir {1, 2, 4}
Vai arī mēs varam tā teikt A Δ B = {1, 2, 4} .
Piemērs2 Pieņemsim, ka ir divas kopas ar dažiem elementiem.
Kopa A = {a, b, c, k, m, n}
Kopa B = {c, n}
Tātad simetriskā atšķirība starp dotajām kopām A un B ir {a, b, k, m}
Vai arī mēs varam tā teikt A Δ B = {a, b, k, m} .
Zemāk esošajā Venna diagrammā varat redzēt simetrisko atšķirību starp abām kopām.
Daļa, kas iepriekš redzamajā Venna diagrammā ir iekrāsota ar ādas krāsu, ir simetriskā atšķirība starp dotajām kopām, t.i., A D B .
Apskatīsim dažas simetriskas atšķirības starp divām kopām īpašībām.
Īpašības
Ir dažas simetriskas atšķirības īpašības, kas ir uzskaitītas šādi;
- Simetrisko atšķirību var attēlot kā abu relatīvo komplementu savienību, t.i.,
A Δ B = (A/B) ∪ (B/A) - Simetrisko atšķirību starp divām kopām var izteikt arī kā divu kopu savienību mīnus to krustpunkts -
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - Simetriskā atšķirība ir gan komutatīva, gan asociatīva -
A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - Tukša kopa ir neitrāla (matemātikā par neitrālu elementu tiek uzskatīts īpašs elementu veids, kas, apvienojot to ar jebkuru kopas elementu, lai veiktu bināru darbību, elements paliek nemainīgs. To sauc arī par Identitātes elements ).
A Δ ∅ = A
A Δ A = ∅ - Ja kopa A ir vienāda ar kopu B, tad simetriskā starpība starp abām kopām ir -
A Δ B = ∅ {kad A = B}
'Simetriskā atšķirība starp divām kopām' v/s 'Atšķirība starp divām kopām'
Atšķirība starp diviem komplektiem
Atšķirība starp divām kopām A un B ir visu to elementu kopa, kas pieder pie A, bet nepieder B, un to apzīmē ar A–B .
Piemērs: Ļaut A = {1, 2, 3, 4}
un B = {3, 4, 5, 6}
tad A - B = {3, 4} un B - A = {5, 6}
Simetriska atšķirība starp diviem komplektiem
Simetriskā atšķirība starp divām kopām A un B ir kopa, kas satur visus elementus, kas atrodas A vai B, bet ne abos. To pārstāv A D B vai A ? B .
Piemērs: Ļaut A = {1, 2, 3, 4}
un B = {3, 4, 5, 6}
tad A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Tagad apskatīsim dažus piemērus, lai skaidrāk izprastu simetrisko atšķirību starp divām kopām.
Jautājums 1 - Pieņemsim, ka jums ir kopas A = {10, 15, 17, 19, 20} un B = {15, 16, 18}. Uzziniet atšķirību starp abām kopām A un B, kā arī noskaidrojiet simetrisko atšķirību starp tām.
Risinājums - Ņemot vērā,
rakstzīmes uz virkni java
A = {10, 15, 17, 19, 20}
un B = {15, 16, 18}
Atšķirība starp abiem komplektiem ir -
A–B = {10, 15, 17, 19, 20}–{15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
Simetriskā atšķirība starp abām kopām ir -
A Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
2. jautājums - Pieņemsim, ka jums ir kopas A = {2, 4, 6, 8} un B = {2, 5, 7, 8}. Noskaidrojiet simetrisko atšķirību B Δ A. Uzzīmējiet arī Venna diagrammu, lai attēlotu simetrisko atšķirību starp abām dotajām kopām.
Risinājums - Dots, A = {2, 4, 6, 8} un B = {2, 5, 7, 8}
Mēs zinām, ka B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Mēģināsim soli pa solim atrisināt jautājumu. Tātad, pirmais solis ir atrast kopas A un kopas B savienību.
Tāpēc (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Pēc tam mums ir jāaprēķina abu kopu krustpunkts.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Tagad mums ir jāatrod atšķirība starp kopu A un B savienojumu un krustpunktu, kā norādīts formulā,
Tātad (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Tāpēc B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Kas būs vienāds ar A Δ B, kā minēts iepriekš, “simetriskā atšķirība ir komutatīva”. Tagad mēs parādīsim simetrisko atšķirību starp abām kopām, izmantojot Venna diagrammu.
Vispirms Venna diagrammā mēs uzzīmēsim divus apļus, kas attēlo kopas A un B. Kā aprēķināts iepriekš, abu kopu krustpunkts ir {2, 8}, tāpēc mēs šos elementus uzskaitījām krustošanās apgabalā. Pēc tam mēs uzskaitām atlikušos elementus to attiecīgajos kopas apļos, t.i., {4, 6} kopā A un {5, 7} kopā B. Pēc elementu sakārtošanas Venna diagramma būs:
Aplūkojot iepriekš minēto Venna diagrammu, ir universāla kopa U. Abas kopas A un B ir universālās kopas U apakškopa. Elementi {2, 8} ir krustojošie elementi, tāpēc tie ir attēloti krustošanās apgabalā. Reģions ar gaiši oranžu krāsu ir kopu savienība, izņemot krustojošo apgabalu. Šis apgabals ir simetriska atšķirība starp abām kopām A un B, un tas tiks attēlots kā -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
3. jautājums - Pieņemsim, ka jums ir kopas A = {5, 6, 8, 9, 10} un B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Pierādīt, ka simetriskā starpība ir komutatīva, izmantojot dotās kopas.
Risinājums - Dots, A = {5, 6, 8, 9, 10} un B = {2, 7, 8, 9, 10}
Pierādīt: A Δ B = B Δ A
Ņem LHS,
A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Tātad, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Tagad ņemiet RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Tātad, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Tāpēc A Δ B = B Δ A
Tādējādi simetriskā atšķirība ir komutatīva.