Perpendikulāras līnijas matemātikā ir līniju pāri, kas vienmēr krustojas viens ar otru taisnā leņķī, t.i., perpendikulāras līnijas vienmēr ir krustojošas līnijas, kas krustojas 90° leņķī. Perpendikulārās līnijas mēs labi redzam, sienu stūri, galda stūri un citi attēlo paralēlo līniju. Perpendikulārām līnijām mēs sakām, ka tās krustojas viena ar otru taisnā leņķī. Īsāko attālumu starp divām līnijām uzrāda, izmantojot perpendikulāro attālumu starp tām, t.i., perpendikulāra līnija starp diviem punktiem dod mazāko attālumu starp tiem.

Šajā rakstā mēs detalizēti uzzināsim par perpendikulārajām līnijām, to īpašībām un citiem.

Satura rādītājs

• Kas ir perpendikulārās līnijas?
• Perpendikulāro līniju īpašības
• Perpendikulāro līniju slīpums
• Perpendikulāro līniju formula
• Kā zīmēt perpendikulāras līnijas?
• Perpendikulāras līnijas vienādojums

Kas ir perpendikulārs?

Perpendikuls ir definēts kā līnija, kas veido a pareizā leņķī ar citu līniju. Citiem vārdiem sakot, perpendikulāra līnija nozīmē līnijas, kas veido 90 grādu leņķi. Īsākais attālums starp punktu un līniju ir perpendikulāra līnija starp tiem. Perpendikuls veido 90 grādus ar otru līniju. Līnija AB un PQ, kā parādīts attēlā zemāk, ir perpendikulāras viena otrai, jo tās krustojas 90 grādu leņķī.

Līnija AB un CD, kas pievienota attēlā zemāk, parāda divas perpendikulāras līnijas.

Kas ir perpendikulārās līnijas?

Perpendikulāras līnijas ir līnijas, kas krustojas viena ar otru leņķī, kas vienāds ar 90 grādiem, t.i., ja divas līnijas saskaras taisnā leņķī, tās sauc par perpendikulārām līnijām. Ņemiet šeit zemāk pievienoto figūru, līnija l un taisne m krustojas punktā O, un to veidotais leņķis ir 90 grādi.

Tādējādi mēs varam teikt, ka l ir taisne, kas ir perpendikulāra m līnijai, vai līnija m ir perpendikulāra taisnei l. Mēs attēlojam šo nosacījumu kā, l ⊥ m. Tagad jebkura taisne, kas ir paralēla taisnei l, ir perpendikulāra taisnei m. Īsākais attālums starp punktu un līniju vienmēr ir perpendikulārais attālums starp tiem.

Piezīme: Ne visas krustojošās līnijas ir perpendikulāras līnijas, bet visas perpendikulārās līnijas ir krustojošas līnijas.

Perpendikulāra zīme

Perpendikulāras līnijas tiek attēlotas, izmantojot simbolu “⊥”. Ja taisnes l un m ir perpendikulāras viena otrai, t.i., tās krustojas viena ar otru 90 grādu leņķī, tad tās sauc par perpendikulārām taisnēm un attēlo kā, l ⊥ m. Krustpunktu sauc par perpendikula pēdu.

Perpendikulāras formas

Prependikulāras formas var redzēt ap mums mūsu ikdienas dzīvē. Perpendikulāras formas ir formas, kurās vismaz viens leņķis ir 90°. Dažādas formas, kurām ir perpendikulāras līnijas (perpendikulāras formas), ir,

• Kvadrāts
• Taisnstūris
• Taisnleņķa trīsstūris

Perpendikulāro līniju īpašības

Jebkuras divas krustojošas līnijas, kas krustojas 90 grādu leņķī, sauc par perpendikulārām līnijām. Perpendikulārām līnijām ir atšķirīgas īpašības nekā krustojošām līnijām, un krustojošo līniju vispārējās īpašības ir,

• Perpendikulāras līnijas ir līnijas, kas vienmēr krustojas viena ar otru pareizā leņķī.
• Ja divas taisnes ir perpendikulāras vienai un tai pašai taisnei, tad šīs divas taisnes vienmēr ir paralēlas viena otrai.

Perpendikulāro līniju slīpums

Jebkuras līnijas slīpums ir iedegums leņķim, ko veido līnija ar pozitīvo x asi, un slīpumam perpendikulāro līniju gadījumā ir īpaša saistība starp tām.

Pieņemsim, ka mums ir divas līnijas PQ un RS, kas ir perpendikulāras viena otrai. Tagad līnijas PQ slīpums ir m₁un līnijas RS slīpums ir m₂, tad slīpumu reizinājums ir vienāds ar -1. Paziņojums par to pašu ir,

Paziņojums, apgalvojums: Divas taisnes ir perpendikulāras viena otrai, ja to slīpuma reizinājums ir -1.

To var attēlot kā,

m ₁ .m ₂ = -1

Perpendikulāro līniju formula

Tālāk ir apskatītas divas pamata perpendikulāro līniju formulas,

1. paziņojums: Perpendikulāras līnijas slīpuma reizinājums ar sākotnējās līnijas slīpumu vienmēr ir -1 .

Pierādījums:

Ļauj, lai sākotnējā līnija izveido leņķi θ ar X asi.

Tad līnijai, kas ir perpendikulāra līnijai, tiks izveidots leņķis θ + 90° vai θ – 90° ar X asi.

Tagad sākotnējās līnijas slīpums ir vienāds ar tan θ

kas ir direktoriju iesniegšana

Perpendikulārās līnijas slīpums ir vienāds ar iedegumu (θ + 90^O) vai iedegums (θ – 90^O)

iedegums (θ + 90 ^O ) = iedegums (θ–90 ^O ) = -cot i

Tādējādi perpendikulārās līnijas slīpums ir -cot θ

Tagad

Slīpuma reizinājums = iedegums θ × (-cot θ) = -1

Līdz ar to pierādīts

2. paziņojums: Ja līnijas vienādojums ir ax + by + c = 0

Tad taisnes vienādojums, kas ir perpendikulārs dotajai taisnei, ir:

– bx + ay + d = 0

kur, c un d ir jebkuras nemainīgas vērtības

Pierādījums:

Līnijas vienādojums ir ax + x + c = 0

Līnijas slīpums ir -a/b

Pieņemsim, ka perpendikulāras līnijas slīpums ir m

Mēs zinām, ka divu perpendikulāru līniju slīpuma reizinājums ir -1

m × (-a / b) = – 1

m = b / a

Tagad, ja perpendikulāra līnija iet caur punktu (x₁, un₁), tad perpendikulāras līnijas vienādojums ir,

(un – un₁) / (x – x₁) = b / a

un – un₁= (b / a) × (x – x₁)

ir – ir₁= bx – bx₁

– bx + ir + (bx₁– ir₁) = 0 {let bx₁– ir₁= d}

Tādējādi nepieciešamais līnijas vienādojums ir,

– bx + ay + d = 0

Kā zīmēt perpendikulāras līnijas?

Mēs varam viegli izveidot perpendikulāras līnijas pāri, izmantojot transportieri un kompasu.

Perpendikulāru līniju zīmēšana, izmantojot transportieri

Lai zīmētu perpendikulāru līniju pāri, izpildiet tālāk aprakstītās darbības,

1. darbība: Vispirms uz papīra uzvelciet horizontālu līniju AB, izmantojot lineālu.

2. darbība: Atzīmējiet jebkuru punktu P uz taisnes AB, no kura jāvelk perpendikulāra līnija.

3. darbība: Novietojiet aizsargu uz līnijas un saskaņojiet aizsarga viduspunktu ar punktu P uz līnijas.

4. darbība: Atzīmējiet 90 grādu leņķi, izmantojot aizsargu.

5. darbība: Savienojiet līniju, izmantojot jebkuru lineālu ar 90 grādu leņķi, lai iegūtu perpendikulāras līnijas pāri.

Perpendikulāras līnijas zīmēšana, izmantojot kompasu

Tālāk ir norādītas darbības, lai izveidotu perpendikulāras līnijas, izmantojot kompasu

1. darbība: Uzzīmējiet līniju uz papīra, izmantojot lineālu

2. darbība: Paņemiet punktu uz līnijas un novietojiet uz tā kompasa adatu.

3. darbība: Uzzīmējiet loku (pusapli) vienā līnijas pusē.

4. darbība: Nemainot kompasa rādiusu, novietojiet adatu vienā pusloka diametra galā.

5. darbība: Izgrieziet pusapaļa loku, nogriežot to divas reizes. Pirmā griezuma atzīmes ir 60°, bet otrā griezuma atzīmes 120°

6. darbība: Starp pirmo un otro griezumu ir 60° atšķirība. Sagrieziet šo atstarpi uz pusēm, izmantojot kompasu, nemainot tā rādiusu.

7. darbība: Tagad savienojiet 60 un 120 sadalīšanas punktu ar sākotnēji pieņemto punktu, lai uzzīmētu pusloku.

8. darbība: Šādi novilktā līnija ir perpendikulāra sākotnējai līnijai.

Perpendikulāru līniju piemēri

Perpendikulāras līnijas ir līnijas, kas vienmēr saskaras viena ar otru 90 grādu leņķī. Mēs reālajā dzīvē redzam dažādus paralēlu līniju piemērus, daži no tiem ir,

• Istabu stūri ir perpendikulāri viens otram.
• Pulksteņa rādītāji attēlo perpendikulāras līnijas pulksten 3′ leņķī.
• Galda un rakstāmgalda stūri attēlo perpendikulāras līnijas.

Perpendikulāras un paralēlas līnijas

Perpendikulāras līnijas ir līnijas, kas viena ar otru veido 90° leņķi, kur kā paralēlas līnijas ir līnijas, kas ir paralēlas viena otrai, tas ir, tās atrodas vienādā attālumā viena no otras un nekad nekrustojas viena ar otru.

Piezīme: Paralēlās līnijas satiekas bezgalībā .

Paralēlu un perpendikulāru līniju slīpums

Paralēlo līniju slīpums ir vienāds, savukārt perpendikulāru līniju slīpuma reizinājums ir -1.

Paralēlu un perpendikulāru līniju vienādojumi

Ja divas taisnes ir paralēlas, tad to līniju vienādojums ir,

• ax + ar + c = 0 un ax + ar + d = 0

Tā kā divu perpendikulu vienādojums ir,

• ax + by + c = 0 un -bx + ax + d = 0

Kas ir paralēlās līnijas?

Paralēlas līnijas ģeometrijā ir definētas kā līnijas, kas nesaskaras viena ar otru 2-D plaknē, t.i., tās nekad nekrustojas viena ar otru 2-D plaknē. Attālums starp divām paralēlām līnijām vienmēr ir nemainīgs. Tālāk pievienotajā attēlā redzami divi paralēlu līniju pāri.

Taisnes a, b un x un y ir paralēlas viena otrai.

Atšķirība starp paralēlām līnijām un perpendikulārajām līnijām

Paralēlas līnijas Vs Perpendikulāras līnijas ir apspriesti zemāk esošajā tabulā.

Perpendikulāras līnijas vienādojums

Standarts līnijas vienādojums ir ax + by + c = 0 un taisne, kas ir perpendikulāra dotajai taisnei, tiek dota, izmantojot,

-bx + ay + d = 0

kur, d ir konstanta vērtība, un tās vērtību nosaka, izmantojot citu doto nosacījumu.

Perpendikulāra līnijas slīpums

Pieņemsim, ka mums ir dota taisne, kuras vienādojums ir y = mx + c un tās slīpums ir m, tad taisnes slīpums, kas ir perpendikulārs dotajai taisnei, ir,

Perpendikulārās līnijas slīpums = -1/m

Tagad, ja divu līniju slīpums ir m₁un m₂tad attiecība starp šīm divām nogāzēm ir, m ₁ m ₂ = -1

Lasīt vairāk,

• Paralēlas līnijas
• Šķērsvirziena līnijas
• Paralēlo līniju īpašības

Perpendikulāru līniju piemēri

1. piemērs: vai taisnes 3x + 2y + 5 = 0 un 2x – 3y + 8 = 0 ir perpendikulāras?

Risinājums:

Taisnes ax + slīpums + c = 0 ir -a/b

• Taisnes 3x + 2y + 5 = 0 slīpums ir m₁= – 3/2.
• Taisnes 2x – 3y + 8 = 0 slīpums ir m₂= -2 / (-3) = 2/3

Mēs zinām, ka līnijas ir perpendikulāras, ja to nogāzēm ir nosacījums.

m₁× m₂= -1

Tagad no iepriekš minētā nosacījuma

= (- 3/2) × (2/3)

= -1

Slīpumu reizinājums ir -1 un līdz ar to līnijas ir perpendikulāras.

2. piemērs: atrodiet taisni, kas ir perpendikulāra taisnei x + 2y + 5 = 0, un iet caur punktu (2, 5).

Risinājums:

Mēs zinām, ka taisnei ax + ar + c = 0 perpendikulāras līnijas vienādojums ir – bx + ay + d = 0.

Dotais līnijas vienādojums ir x + 2y + 5 = 0

Salīdzinot līniju x + 2y + 5 = 0 ar ax + ar + c = 0, mēs iegūstam,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Tādējādi jebkuras tai perpendikulāras taisnes vienādojums ir – 2x + y + d = 0…(i)

Ņemot vērā, ka šī līnija iet cauri (2, 5),

Tādējādi šajā perpendikulārās līnijas vienādojumā ievietojot (2, 5).

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Aizvietojot d vērtību vienādībā(i), mēs iegūstam

-2x + y + (-1) = 0

Tādējādi perpendikulārās līnijas vienādojums ir -2x + y - 1 = 0

3. piemērs: atrodiet taisnei perpendikulāras līnijas slīpumu 3x + 9y + 7 = 0.

Risinājums:

Ņemot vērā,

Taisnes vienādojums ir 3x + 9y + 7 = 0

Šīs līnijas slīpums = -a/b = – 3/9 = – 1/3

Pieņemt, ka ine slīpums perpendikulāri augšējai taisnei ir m

Tagad izmantojot perpendikulārās līnijas formulu

m × (- 1/3) = – 1

⇒ m = 3

Tādējādi līnijas slīpums, kas ir perpendikulārs dotajai taisnei, ir 3.

4. piemērs: atrodiet taisnei x + y + 3 = 0 perpendikulāras līnijas leņķi.

Risinājums:

Dotā līnija,

x + y + 3 = 0

Dotās līnijas slīpums = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Pieņemsim, līnijas slīpums, kas ir perpendikulārs augšējai taisnei, ir m

No perpendikulāras līnijas formulas,

m × -1 = - 1

⇒ m = 1

Dotajai taisnei perpendikulāras līnijas leņķis ir θ, tad

m = iedegums θ

⇒ iedegums θ = 1

⇒ θ = iedegums^-1(1) = 45°

Tādējādi leņķis, ko veido perpendikulāra līnija ar X asi, ir 45°.

Perpendikulārās prakses problēmas

Q1. Atrodiet taisnei perpendikulāras līnijas leņķi 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Ja taisne iet caur punktiem (11, -4) un (-1, 8), bet cita taisne iet caur punktiem (8, 3) un (-1, -3). Pārbaudiet, vai šīs līnijas ir paralēlas vai perpendikulāras.

Q3. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas ir perpendikulāra 5x − 7y = 5 un iet caur punktu (-1, 8).

Q4. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet cauri (2, 3) un ir perpendikulāra x asij.

Perpendikulāras līnijas — FAQ

Kas ir perpendikulārās līnijas?

Ja divas krustojošās līnijas krustojas viena ar otru taisnā leņķī, t.i., 90 grādu leņķī, tad šīs divas līnijas sauc par perpendikulārām līnijām.

Kas ir paralēlas un perpendikulāras līnijas?

Paralēlas līnijas ir līnijas, kas nesaskaras viena ar otru 2-D plaknē. Attālums starp divām paralēlām līnijām vienmēr ir nemainīgs. Ja divas līnijas saskaras viena ar otru 90 grādu leņķī, tad šīs līnijas sauc par perpendikulārām līnijām.

Vai krustojošās līnijas vienmēr ir perpendikulāras?

Nē, ne visas krustojošās līnijas vienmēr ir perpendikulāras, tās var būt un var nebūt perpendikulāras. Krustojošās līnijas var satikties dažādos leņķos.

Kāds ir nosacījums perpendikulāro līniju slīpumam?

Pieņemsim, ka divu līniju slīpums ir m₁un m₂tad divu perpendikulāru līniju slīpumu stāvoklis ir, m ₁ .m ₂ = -1

Cik perpendikulāru līniju var novilkt uz līniju?

Līnijai mēs varam novilkt jebkādu skaitu perpendikulāru līniju, t.i., jebkurai līnijai var būt bezgalīgas perpendikulāras līnijas.

Kad divas līnijas ir perpendikulāras?

Divas taisnes ir perpendikulāras, ja tās krustojas 90° leņķī, t.i., perpendikulāras līnijas vienmēr krustojas pareizā leņķī.

Kas ir perpendikulārs trīsstūris?

Trijstūri, kura leņķis ir vienāds ar 90°, sauc par perpendikulāru trīsstūri. To sauc arī par taisnleņķa trīsstūri.

Kādas ir dažas perpendikulāras formas?

Dažas formas, kas tiek sauktas par perpendikulārajām formām, ir formas, kurās ir vismaz viens perpendikuls. Dažādi perpendikulāru formu piemēri ir kvadrāts, taisnstūris, taisnleņķa trīsstūris

Kas ir perpendikulāri leņķi?

Leņķus, kas ir vienādi ar 90°, sauc par perpendikulāriem leņķiem. Otrs perpendikulāro leņķu nosaukums ir taisnie leņķi.

Kas ir perpendikulārais simbols?

Simbols vai zīme, kas apzīmē perpendikulāru, ir, ⟂. Mēs izmantojam šo simbolu, lai parādītu, vai divas līnijas ir perpendikulāras. Piemēram, ja ir rakstīts A⟂B, kur A un B ir divas līnijas, tad līnija A ir perpendikulāra līnijai B un otrādi.

Kā noteikt, kuras līnijas ir perpendikulāras?

Ja leņķis starp divām līnijām ir 90°. Tad mēs varam teikt, ka šīs divas līnijas ir perpendikulāras. Ja abu līniju slīpums ir norādīts kā, m₁, m₂tad mēs izmantojam perpendikulāro līniju formulu, lai noskaidrotu, vai tie ir perpendikulāri vai nē. Perpendikulārās līnijas formula ir, m₁.m₂= -1

Kā atrast perpendikulāro līniju slīpumu?

Perpendikulāro līniju slīpumu var viegli aprēķināt, izmantojot slīpuma formulu. Pieņemsim, ka mums ir dota līnija, tad mēs vispirms to konvertējam standarta formā un pēc tam izmantojam slīpuma formulu, lai atrastu slīpumu. Slīpuma formula ir, m = -b/a, kur a ir x koeficients un b ir y koeficients.