Mērķa funkcija ir lineārās programmēšanas problēmas mērķis, kā norāda nosaukums. Lineārajā programmēšanā vai lineārajā optimizācijā mēs izmantojam dažādus paņēmienus un metodes, lai atrastu optimālu risinājumu lineārajai problēmai ar dažiem ierobežojumiem. Metode var ietvert arī nevienlīdzības ierobežojumus. Lineārās programmēšanas mērķa funkcija ir optimizēt, lai atrastu optimālo risinājumu konkrētai problēmai.
Šajā rakstā mēs uzzināsim visu par objektīvo funkciju, tostarp tās definīciju, veidiem, kā formulēt objektīvu funkciju jebkurai konkrētai problēmai utt. Mēs arī uzzināsim dažādus objektīvo funkciju attēlojumus, piemēram, lineārās objektīvās funkcijas vai nelineāro mērķi. funkcijas. Tātad, sāksim mācīties par šo lineārās programmēšanas pamatjēdzienu, t.i., objektīvo funkciju.
Kas ir objektīvā funkcija?
Kā norāda nosaukums, mērķa funkcija pamatā nosaka problēmas mērķi. Tā koncentrējas uz lēmumu pieņemšanu, pamatojoties uz ierobežojumiem. Tā ir reālas vērtības funkcija, kas ir jāpalielina vai jāsamazina atkarībā no ierobežojumiem. Tā ir kā peļņas vai zaudējumu funkcija. To parasti apzīmē ar Z.
Ar objektīvo funkciju saistītās terminoloģijas ir šādas:
- Ierobežojumi: Tie būtībā ir nosacīti vienādojumi, kas regulē lineāro funkciju
- Lēmuma mainīgie: Mainīgie lielumi, kuru vērtības ir jānoskaidro. Vienādojumi ir atrisināti tā, lai iegūtu šo mainīgo lielumu optimālo vērtību.
- Iespējamais reģions: Tas ir reģions grafikā, kurā ierobežojumi ir izpildīti un lēmuma mainīgie ir atrodami reģiona stūros.
- Optimālais risinājums: Labākais iespējamais risinājums, kas atbilst visiem ierobežojumiem un sasniedz augstāko vai zemāko mērķi.
- Neizmantojams risinājums: Risinājums, kas pārkāpj vienu vai vairākus ierobežojumus un ko nevar ieviest vai izpildīt.
Mērķa funkcija lineārajā programmēšanā
Lineārajā programmēšanā mērķa funkcija ir lineāra funkcija, kas sastāv no diviem lēmuma mainīgajiem. Tā ir lineāra funkcija, kas ir jāpalielina vai jāsamazina atkarībā no ierobežojumiem. Ja a un b ir konstantes un x un y ir lēmumu mainīgie, kur x> 0 un y> 0, tad funkcija Objective ir
Z = cirvis + by
Tātad, lai iegūtu Optimizācijas funkcijas optimālo vērtību, vispirms ir jāatrisina ierobežojumi, izmantojot jebkuru no metodēm, un jānoskaidro lēmuma mainīgie. Pēc tam funkcijā Objective ievietojam Lēmuma mainīgo vērtības, lai ģenerētu optimālo vērtību.
Mērķa funkcijas formulēšana
Lineārā programmēšana ir saistīta ar lēmumu mainīgo optimālo vērtību atrašanu un šo vērtību ievietošanu mērķa funkcijā, lai ģenerētu maksimālo vai minimālo vērtību. Lineārās programmēšanas risināšanai ir daudz paņēmienu, piemēram, vienkāršā metode un grafiskā metode. Tomēr parasti priekšroka tiek dota grafiskajai metodei tās vienkāršības dēļ. Darbības, lai iegūtu mērķa funkcijas optimālās vērtības, ir šādas:
- No uzdevuma ģenerējiet ierobežojumu vienādojumus un mērķa funkciju.
- Atzīmējiet ierobežojumu vienādojumus grafikā.
- Tagad identificējiet iespējamo reģionu, kurā ir izpildīti ierobežojumi.
- Ģenerējiet lēmuma mainīgo vērtības, kas atrodas iespējamā reģiona stūros.
- Ievietojiet visas ģenerētās vērtības mērķa funkcijā un ģenerējiet optimālo vērtību.
Izplatītākie objektīvo funkciju veidi
Ir divu veidu mērķa funkcijas.
- Maksimizēšanas mērķa funkcija
- Minimizācijas mērķa funkcija
Apspriedīsim šos divus veidus sīkāk šādi:
Maksimizēšanas mērķa funkcija
Šādā veidā mēs parasti cenšamies maksimāli palielināt mērķa funkciju. Virsotnēm, kas tiek atrastas pēc ierobežojumu grafiskā zīmēšanas, ir tendence ģenerēt mērķa funkcijas maksimālo vērtību. Ilustrēsim ar piemēra palīdzību
Piemērs: vīrietis iegulda ne vairāk kā 8 stundas, lai izgatavotu makus un skolas somas. Viņš iegulda 2 stundas maku izgatavošanā un 4 stundas skolas somās. Viņa mērķis ir izgatavot ne vairāk kā 5 makus un skolas somas un vēlas tos pārdot un gūt peļņu 20 Rs apmērā no maka un 100 Rs no skolas somas. Atrodiet mērķa funkciju.
Risinājums:
Lai x ir rotis skaits un y ir maizes skaits.
Vīrietis var ieguldīt maksimums 8 stundas, ieguldot 2 stundas maka izgatavošanā un 4 stundas skolas somas izgatavošanā. Tāpēc pirmais ierobežojuma vienādojums ir
2x + 4y ⩽ 8
⇒ x + 2y ⩽ 4
Maksimālais skaits, ko viņš var izdarīt, ir 5
x+y ⩽ 5
Mērķa funkciju apzīmēsim ar Z
Tāpēc Z = 20x + 100y
Minimizācijas mērķa funkcija
Šādā veidā mēs parasti cenšamies samazināt mērķa funkciju. Virsotnēm, kas tiek atrastas pēc ierobežojumu grafiskā zīmēšanas, ir tendence ģenerēt mērķa funkcijas minimālo vērtību. Ilustrēsim ar piemēra palīdzību
Piemērs: Ja divu mainīgo summa ir vismaz 20. Ir dots, ka viens mainīgais ir lielāks par 9. Atvasiniet mērķa funkciju, ja viena mainīgā izmaksas ir 2 vienības un cita mainīgā izmaksas ir 9 vienības.
Risinājums:
Lai x un y ir divi mainīgie. Tiek dots, ka divu mainīgo summai jābūt vismaz 20.
x+y ⩾ 20
virknes vērtībaun x 9
Virs divas nevienlīdzības ir ierobežojumi sekojošai mērķa funkcijai.
Mērķfunkciju apzīmēsim ar Z. Tāpēc Z ir
Z = 2x + 9 g
Objektīvas funkcijas matemātiskais attēlojums
Kā mēs runājām par mērķa funkciju lineārās programmēšanas kontekstā, mērķa funkcija var būt arī nelineāra.
- Lineāras mērķa funkcijas: šāda veida mērķa funkcijās gan ierobežojumi, gan mērķa funkcijas ir lineāras. Mainīgo eksponenti ir 1.
- Nelineāras mērķa funkcijas: šāda veida mērķa funkcijās gan ierobežojumi, gan mērķa funkcijas ir lineāras. Mainīgo eksponenti ir vai nu 1, vai lielāki par 1.
Objektīvo funkciju pielietojumi
Objektīvās funkcijas ir svarīgas reālās dzīves scenārijos. Piemēram, šīs funkcijas izmanto uzņēmēji. Uzņēmēji to izmanto, lai palielinātu savu peļņu. Objektīvās funkcijas ir noderīgas arī transporta problēmām. Iestatot funkciju, var analizēt, cik liels degvielas patēriņš notiek un kā lietotājs attiecīgi var samazināt cenas par to pašu. Objektīvās funkcijas ir noderīgas arī attāluma problēmās.
Atrisinātas objektīvās funkcijas problēmas
1. problēma: cilvēks vēlas jostas un makus. Viņam ir kopējie ietaupījumi 6000 Rs, un viņš vēlas visus savus ietaupījumus iztērēt, iegādājoties jostas un makus, lai vēlāk varētu tos pārdot. Maka vērtība ir Rs 20 un jostas vērtība ir Rs 10. Viņš vēlas tās glabāt skapī un skapja maksimālā ietilpība ir 50 vienības. Viņš sagaida, ka peļņa būs Rs 2 no jostas un Rs 3 no maka. Atrodiet ierobežojumus un iegūto mērķa funkciju.
Risinājums:
Ļaujiet x apzīmēt iegādājamo maku skaitu un y apzīmēt iegādājamo jostu skaitu. Jāatzīmē ikreiz, kad uzdevumā ir minēts maksimums, lai atrastu ierobežojumus, jāizmanto “⩽”.
Maksimālais ieguldījums ir Rs 6000. Pirmais ierobežojuma vienādojums ir
20x+10g⩽6000
Maksimālā skapja uzglabāšanas ietilpība ir 50
x+y⩽50
Šeit peļņas funkcija būtībā ir mērķa funkcija. Apzīmēsim to ar P. Tāpēc peļņas funkcija ir
P = 3x + 2g
2. uzdevums: identificējiet ierobežojumu vienādojumus un mērķa funkciju no dotās kopas
- 2x + 3y 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4y ⩽ 40
- Z = 7x + 8 g
Kur x un y ir lielāki par 0.
Risinājums:
Ierobežojumi var būt nevienlīdzības vai nevienlīdzības formāts. Bet mērķa funkcijai vienmēr ir vienlīdzības simbols
Tāpēc ierobežojumu vienādojumi ir
2x + 3y 50
x + y ⩽ 50
5x + 4y ⩽ 40
Objektīvais vienādojums ir Z = 7x + 8y
3. problēma: sieviete iegulda ne vairāk kā 7 stundas, lai pagatavotu rotis un maizi. Viņa iegulda 2 stundas rotā un 4 stundas maizē. Viņas mērķis ir pagatavot ne vairāk kā 20 maizes un rotas, un vēlas tos pārdot un gūt peļņu Rs 2 apmērā no roti un 1 Rs no maizes. Atrodiet mērķa funkciju.
Risinājums:
Lai x ir rotis skaits un y ir maizes skaits.
Sieviete var ieguldīt maksimāli 7 stundas, ieguldot 2 stundas roti un 4 stundas maizes gatavošanā. Tāpēc pirmais ierobežojuma vienādojums ir
2x + 4y ⩽ 7
Maksimālais maizes un cepumu skaits, ko viņa var pagatavot, ir 20
x + y ⩽ 20
Mērķa funkciju apzīmēsim ar Z
Tāpēc Z = 2x + y.
4. problēma: uzņēmums vēlas ražot produktu A un produktu B. Produktam A ir nepieciešamas 4 vienības kakao pulvera un 1 vienība piena pulvera Produktam B ir nepieciešamas 3 vienības kakao pulvera un 2 vienības piena pulvera. Ir pieejamas 87 vienības kakao pulvera un 45 vienības piena pulvera. Peļņa, kas jānopelna par katru produktu, ir attiecīgi USD 3 un USD 5. Atrodiet mērķa funkciju.
Risinājums:
Ar x apzīmē produkta A skaitu un y apzīmē B tipa preču skaitu.
Maksimālais kakao pulvera daudzums ir 87 vienības. Tātad pirmais ierobežojuma vienādojums ir
4x + 3y ⩽ 87
Maksimālais pieejamais piena pulvera daudzums ir 45 vienības. Tātad otrais ierobežojuma vienādojums ir
x + 2y ⩽ 45
Šeit mūsu mērķis ir palielināt peļņu. Tātad mūsu peļņas funkcija ir mērķa funkcija. Lai to apzīmē ar Z
Z = 3x + 5 g
5. problēma. Ir jāizveido divu veidu pārtikas paciņas A un B, kas satur vitamīnus. Ir jāpadara pieejamas vismaz 45 pārtikas paciņas A vienības, un abu pārtikas paciņu ražošanai jābūt vismaz 30. Ģenerējiet ģenerējamo mērķa funkciju, ja pārtikas paciņā A ir 6 vienības vitamīnu un pārtikas paciņā B ir 8 vienības. .
Risinājums:
Ar x ir pārtikas paciņu A skaits un y ir pārtikas paciņu B skaits
Ir jānodrošina vismaz 45 pārtikas paciņas. Tāpēc pirmais ierobežojuma vienādojums ir
x ⩾ 45
Otrais ierobežojuma vienādojums ir
x + y ⩾ 30
Mērķa funkcija ir šāda:
Z = 6x + 8 g
Bieži uzdotie jautājumi par objektīvo funkciju
Q1: Kāda ir objektīvās funkcijas lineārās programmēšanas problēma?
Atbilde:
Mērķa funkcija ir reālas vērtības funkcija, kas ir jāpalielina vai jāsamazina atkarībā no ierobežojumiem. Tas ietver divus lēmumu mainīgos lielumus.
Q2: Kāds ir objektīvās funkcijas mērķis?
Atbilde:
Mērķa funkcijas mērķis ir palielināt vai samazināt iegūto vērtību. Tas ir vienādojums, kas tiek izteikts kā lēmumu mainīgie, un tam ir izšķiroša nozīme lineārajā programmēšanā.
Q3: Kā mēs saprotam, vai funkcija ir jāpalielina vai jāsamazina?
Atbilde:
Lai pārbaudītu, vai funkcija ir jāpalielina vai nē, mums ir jāzina tādi termini kā “maksimums”, “vismaz”. Ja tiek dots termins “vismaz”, mērķa funkcija ir jāsamazina. Terminam “maksimums” funkcija ir jāpalielina.
4. jautājums: nosauciet izplatītākos objektīvo funkciju veidus.
Atbilde:
Ir divu veidu objektīvās funkcijas:
- Maksimizācijas Mērķa funkcija
- Minimizācijas mērķa funkcija
Q5: Kādi ir objektīvās funkcijas pielietojumi?
Atbilde:
Mērķa funkcijai ir dažādas lietojumprogrammas. Tie ir noderīgi reālās dzīves scenārijos. Tos pamatā izmanto, lai katrā gadījumā novērtētu peļņu vai zaudējumus. Objektīvās funkcijas ir noderīgas transporta problēmās, laika ierobežojuma problēmās utt.