logo

TechCodeview

Ņūtona Rafsona metode

Ņūtona Rafsona metode vai Ņūtona metode ir spēcīgs paņēmiens vienādojumu skaitliskai atrisināšanai. To visbiežāk izmanto reālās vērtības funkciju sakņu tuvināšanai. Ņūtona Rapsona metodi izstrādāja Īzaks Ņūtons un Džozefs Rafsons, tāpēc arī nosaukums Ņūtona Rapsona metode.

Ņūtona Rafsona metode ietver iteratīvu sākotnējā minējuma precizēšanu, lai to saskaņotu ar vēlamo sakni. Tomēr šī metode nav efektīva, lai aprēķinātu polinomu vai vienādojumu ar augstākām pakāpēm saknes, bet mazo grādu vienādojumu gadījumā šī metode dod ļoti ātrus rezultātus. Šajā rakstā mēs uzzināsim par Ņūtona Rafsona metodi un soļiem, kā aprēķināt saknes, izmantojot arī šo metodi.



Satura rādītājs

Kas ir Ņūtona Rafsona metode?

Ņūtona-Rafsona metode, kas pazīstama arī kā Ņūtona metode, ir iteratīva skaitliska metode, ko izmanto, lai atrastu reālās vērtības funkcijas saknes. Šī formula ir nosaukta sera Īzaka Ņūtona un Džozefa Rafsona vārdā, jo viņi neatkarīgi piedalījās tās attīstībā. Ņūtona Rafsona metode vai Ņūtona metode ir algoritms, lai tuvinātu reālās vērtības funkciju nulles saknes, izmantojot minējumu pirmajai iterācijai (x0) un pēc tam aproksimējot nākamo iterāciju (x1), kas atrodas tuvu saknēm, izmantojot šādu formulu.

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



kur,

lietotājvārda piemērs
  • x 0 ir x sākotnējā vērtība,
  • f(x 0 ) ir vienādojuma vērtība sākotnējā vērtībā, un
  • f'(x 0 ) ir vienādojuma vai funkcijas pirmās kārtas atvasinājuma vērtība sākotnējā vērtībā x0.

Piezīme: f'(x0) nedrīkst būt nulle, pretējā gadījumā formulas daļa mainīsies uz bezgalību, kas nozīmē, ka f(x) nedrīkst būt nemainīga funkcija.

Ņūtona Rafsona metodes formula

Vispārējā formā Ņūtona-Rafsona metodes formula ir uzrakstīta šādi:



x n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

kur,

  • x n-1 ir aptuvenais (n-1)thfunkcijas sakne,
  • f(x n-1 ) ir vienādojuma vērtība pie (n-1)thaprēķinātā sakne un
  • f'(x n-1 ) ir vienādojuma vai funkcijas pirmās kārtas atvasinājuma vērtība pie xn-1.

Ņūtona Rafsona metodes aprēķins

Pieņemsim vienādojumu vai funkcijas, kuru saknes ir jāaprēķina kā f(x) = 0.

Lai pierādītu Ņūtona Rafsona metodes derīgumu, ir jāveic šādas darbības:

1. darbība: Uzzīmējiet f(x) grafiku dažādām x vērtībām, kā parādīts zemāk:

Ņūtona Rafsona metodes aprēķins

2. darbība: Pieskares f(x) uzzīmē pie x0. Šī ir sākotnējā vērtība.

3. darbība: Šī tangensa krustos X asi kādā fiksētā punktā (x1,0) ja f(x) pirmais atvasinājums nav nulle t.i. f'(x 0 ) ≠ 0.

4. darbība: Tā kā šī metode paredz sakņu iterāciju, šī x1tiek uzskatīts par nākamo saknes tuvinājumu.

5. darbība: Tagad 2. līdz 4. darbība tiek atkārtota, līdz mēs sasniedzam faktisko sakni x*.

Tagad mēs zinām, ka jebkuras līnijas slīpuma pārtveres vienādojums ir attēlots kā y = mx + c,

Kur m ir līnijas slīpums un c ir līnijas x krustpunkts.

Izmantojot to pašu formulu, mēs iegūstam

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )

Šeit f(x0) apzīmē c un f'(x0) apzīmē pieskares m slīpumu. Tā kā šis vienādojums attiecas uz katru x vērtību, tam ir jāatbilst arī x1. Tādējādi, aizstājot x ar x1, un pielīdzinot vienādojumu nullei, lai aprēķinātu saknes, mēs iegūstam:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x 1 − x 0 )

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Kura ir Ņūtona Rafsona metodes formula.

Tādējādi Ņūtona Rafsona metode tika matemātiski pierādīta un pieņemta kā derīga.

Ņūtona Rafsona metodes konverģence

Ņūtona-Rafsona metodei ir tendence saplūst, ja ir spēkā šāds nosacījums:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

Tas nozīmē, ka metode konverģē, ja funkcijas vērtības reizinājuma modulis pie x un funkcijas otrā atvasinājuma pie x ir mazāks par funkcijas pirmā atvasinājuma moduļa kvadrātu pie x. Ņūtona-Rafsona metodei ir 2. kārtas konverģence, kas nozīmē, ka tai ir kvadrātiskā konverģence.

Piezīme:

Ņūtona Rafsona metode nav derīga, ja funkcijas pirmais atvasinājums ir 0, kas nozīmē f'(x) = 0. Tā ir iespējama tikai tad, ja dotā funkcija ir konstanta funkcija.

  • Ņūtona metode sakņu atrašanai
  • Atšķirība starp Ņūtona Rafsona metodi un parasto Falsi metodi
  • Atšķirība starp sadalīšanas metodi un Ņūtona Rafsona metodi
  • Sakņu atrašanas algoritms

Ņūtona Rafsona metodes piemērs

Apskatīsim šo piemēru, lai uzzinātu vairāk par reālās vērtības funkcijas saknes atrašanas procesu.

Piemērs: sākotnējai vērtībai x 0 = 3, tuviniet f(x)=x sakni 3 +3x+1.

java kārtošanas masīvu saraksts

Risinājums:

Ņemot vērā, x0= 3 un f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

f(x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

Izmantojot Ņūtona Rafsona metodi:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1,767

Atrisināja Ņūtona Rafsona metodes problēmas

1. problēma: sākotnējai vērtībai x 0 = 1, tuviniet f(x)=x sakni 2 −5x+1.

Risinājums:

Ņemot vērā, x0= 1 un f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f(x0) = f(1) = 1–5 + 1 = -3

Izmantojot Ņūtona Rafsona metodi:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 1 – (-3)/-3

⇒ x1= 1-1

⇒ x1= 0

2. problēma: sākotnējai vērtībai x 0 = 2, tuviniet f(x)=x sakni 3 −6x+1.

Risinājums:

Ņemot vērā, x0= 2 un f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8–12 + 1 = -3

Izmantojot Ņūtona Rafsona metodi:

ja vēl bash čaulā

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – (-3)/6

⇒ x1= 2 + 1/2

⇒ x1= 5/2 = 2,5

3. problēma: sākotnējai vērtībai x 0 = 3, tuviniet f(x)=x sakni 2 −3.

Risinājums:

Ņemot vērā, x0= 3 un f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

Izmantojot Ņūtona Rafsona metodi:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 6/6

⇒ x1= 2

4. uzdevums: atrodiet vienādojuma f(x) = x sakni 3 – 3 = 0, ja sākotnējā vērtība ir 2.

Risinājums:

Ņemot vērā x0= 2 un f(x) = x3- 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

stlc

Izmantojot Ņūtona Rafsona metodi:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – 5/12

⇒ x1= 1583

Atkārtoti izmantojot Ņūtona Rafsona metodi:

x2= 1,4544

x3= 1,4424

x4= 1,4422

Tāpēc vienādojuma sakne ir aptuveni x = 1,442.

5. uzdevums: atrodiet vienādojuma sakni f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, ja sākotnējā vērtība ir 3.

Risinājums:

Ņemot vērā x0= 3 un f(x) = x3– 5x + 3 = 0

stīgu pievienot

f'(x) = 3x2- 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27–15 + 3 = 15

Izmantojot Ņūtona Rafsona metodi:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 15/22

⇒ x1= 2,3181

Atkārtoti izmantojot Ņūtona Rafsona metodi:

x2= 1,9705

x3= 1,8504

x4= 1,8345

x5= 1,8342

Tāpēc vienādojuma sakne ir aptuveni x = 1,834.

Ņūtona Rafsona metodes bieži uzdotie jautājumi

Q1: definējiet Ņūtona Rafsona metodi.

Atbilde:

Ņūtona Rafsona metode ir skaitliska metode, lai tuvinātu jebkuras reālās vērtības funkcijas saknes. Šajā metodē mēs izmantojām dažādas iterācijas, lai tuvinātu saknes, un jo lielāks iterāciju skaits, jo mazāka kļūda aprēķinātās saknes vērtībā.

Q2: Kādas ir Ņūtona Rafsona metodes priekšrocības?

Atbilde:

Ņūtona Rafsona metodes priekšrocība ir tā, ka tā ļauj ļoti efektīvi un ātri uzminēt vienādojuma saknes ar nelielu pakāpi.

Q3: Kāds ir Ņūtona Rafsona metodes trūkums?

Atbilde:

Ņūtona Rafsona metodes trūkums ir tāds, ka tā mēdz kļūt ļoti sarežģīta, kad polinoma pakāpe kļūst ļoti liela.

Q4: norādiet jebkuru Ņūtona Rafsona metodes pielietojumu reālajā dzīvē.

Atbilde:

Ņūtona Rafsona metodi izmanto, lai analizētu ūdens plūsmu ūdens sadales tīklos reālajā dzīvē.

Q5: Uz kuru teoriju balstās Ņūtona-Rafsona metode?

Atbilde:

Ņūtona Rafsona metode balstās uz aprēķinu un līknes pieskares teoriju.