2. noteikums

Ja izteiksmju LHS un RHS apmainās, tad nevienlīdzība apgriežas. To sauc par apgriezto īpašumu.

• Ja a> b, tad b
• Ja a
• Ja a ≥ b, tad b ≤ a
• Ja a ≤ b, tad b ≥ a

3. noteikums

Ja no abām nevienādības pusēm pievieno vai atņem vienu un to pašu konstanti k, tad abas nevienādības puses ir vienādas.

• Ja a> b, tad a + k> b + k
• Ja a> b, tad a – k> b – k

Tāpat arī par citām nevienlīdzībām.

• Ja
• Ja
• Ja a ≤ b, tad a + k ≤ b + k
• Ja a ≤ b, tad a – k ≤ b – k
• Ja a ≥ b, tad a + k ≥ b + k
• Ja a ≥ b, tad a – k ≥ b – k

Pēc konstantes pievienošanas vai atņemšanas nevienlīdzības virziens nemainās.

4. noteikums

Ja k ir pozitīva konstante, ko reizina vai dala ar abām nevienādības pusēm, tad nevienādības virziens nemainās.

• Ja a> b, tad ak> bk
• Ja
• Ja a ≤ b, tad ak ≤ bk
• Ja a ≥ b, tad ak ≥ bk

Ja k ir negatīva konstante, kas tiek reizināta vai dalīta ar abām nevienlīdzības pusēm, tad nevienlīdzības virziens tiek apgriezts.

• Ja a> b, tad ak
• Ja a> b, tad ak
• Ja a ≥ b, tad ak ≤ bk
• Ja a ≤ b, tad ak ≥ bk

5. noteikums

Jebkura skaitļa kvadrāts vienmēr ir lielāks par nulli vai vienāds ar to.

• a²≥ 0

6. noteikums

Kvadrātsakņu pieņemšana abās nevienlīdzības pusēs nemaina nevienlīdzības virzienu.

• Ja a> b, tad √a> √b
• Ja
• Ja a ≥ b, tad √a ≥ √b
• Ja a ≤ b, tad √a ≤ √b

Nevienādību grafiks

Nevienādības ir vai nu ar vienu mainīgo vai diviem, vai arī mums ir nevienādību sistēma, un tās visas var grafiski attēlot Dekarta plaknē, ja tajā ir tikai divi mainīgie. Viena mainīgā nevienādības tiek attēlotas uz reālām taisnēm, un divi mainīgie tiek attēloti Dekarta plaknē.

Intervālu apzīmējumi nevienādībām

Svarīgi punkti intervālu rakstīšanai nevienādībām:

• Ja ir lielāks par un vienāds ar ( ≥ ) vai mazāks par vienāds ar ( ≤ ), tiek iekļautas beigu vērtības, tāpēc tiek izmantotas slēgtās vai kvadrātiekavas [ ].
• Ja ir lielāks par ( > ) vai mazāks par ( < ), beigu vērtības ir izslēgtas, tāpēc tiek izmantotas atvērtās iekavas ().
• Gan pozitīvai, gan negatīvai bezgalībai tiek izmantotas atvērtās iekavas ().

Šajā tabulā parādīti intervāli dažādām nevienādībām:

Grafiks lineārām nevienādībām ar vienu mainīgo

No nākamās tabulas mēs varam saprast, kā uz reālas līnijas attēlot dažādas lineāras nevienādības ar vienu mainīgo.

Nevienlīdzība	Intervāls	Grafiks
x > 1	(1, ∞)	Lineārās nevienādības ar vienu mainīgo
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Grafiks lineārajām nevienādībām ar diviem mainīgajiem

Ņemsim piemēru lineārai nevienādībai ar diviem mainīgajiem.

Apsveriet lineāro nevienādību 20x + 10y ≤ 60, jo dotās nevienādības iespējamie risinājumi ir (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0), un arī visi punkti, kas atrodas aiz šiem punktiem, arī ir nevienādības atrisinājums.

Uzzīmēsim grafiku no dotajiem risinājumiem.

Grafikā iekrāsotais apgabals attēlo iespējamos dotās nevienādības risinājumus.

Lasīt arī

• Lineāro nevienādību grafiskais risinājums divos mainīgajos

Nevienlīdzības veidi

Ir dažādi nevienlīdzības veidi, kurus var klasificēt šādi:

• Polinomu nevienādības: Polinomu nevienādības ir nevienādības, kuras var attēlot polinomu formā. Piemērs — 2x + 3 ≤ 10.
• Absolūtās vērtības nevienlīdzības: Absolūtās vērtības nevienlīdzības ir nevienlīdzības absolūtās vērtības zīmē. Piemērs- |y + 3| ≤ 4.
• Racionāla nevienlīdzība: Racionālās nevienādības ir nevienādības ar daļām kopā ar mainīgajiem. Piemērs- (x + 4) / (x - 5) <5.

Kā atrisināt nevienlīdzību

Lai atrisinātu nevienlīdzības, mēs varam izmantot šādas darbības:

• 1. darbība: Uzrakstiet nevienādību vienādojuma formā.
• 2. darbība: Atrisiniet vienādojumu un iegūstiet nevienādību saknes.
• 3. darbība: Iegūtās vērtības attēlo skaitļu rindā.
• 4. darbība: Izslēgtās vērtības attēlo arī skaitļu rindā ar atvērtajiem apļiem.
• 5. darbība: Atrodiet intervālus no skaitļu līnijas.
• 6. darbība: Paņemiet nejaušu vērtību no katra intervāla un ievietojiet šīs vērtības nevienādībā un pārbaudiet, vai tā apmierina nevienādību.
• 7. darbība: Nevienlīdzības risinājums ir intervāli, kas apmierina nevienlīdzību.

Kā atrisināt polinomu nevienādības

Polinomu nevienādības ietver lineārās nevienādības, kvadrātvienādības, kubiskās nevienādības utt. Šeit mēs iemācīsimies atrisināt lineārās un kvadrātiskās nevienādības.

Lineāro nevienādību risināšana

Lineārās nevienādības var atrisināt kā lineārus vienādojumus, bet saskaņā ar nevienādību likumu. Lineārās nevienādības var atrisināt, izmantojot vienkāršas algebriskas darbības.

Viena vai divpakāpju nevienlīdzība

Vienpakāpju nevienlīdzība ir nevienlīdzība, ko var atrisināt vienā solī.

Piemērs: Atrisiniet: 5x <10

Risinājums:

⇒ 5x <10 [abas puses dalot ar 5]

⇒ x <2 vai (-∞, 2)

Divpakāpju nevienlīdzība ir nevienlīdzība, ko var atrisināt divos posmos.

Piemērs: Atrisiniet: 4x + 2 ≥ 10

Risinājums:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Atņemot 2 no abām pusēm]

⇒ 4x ≥ 8 [abas puses dalot ar 4]

pasvītrot iezīmējumā

⇒ x ≥ 2 vai [2, ∞)

Saliktās nevienlīdzības

Saliktās nevienlīdzības ir nevienlīdzības, kurām ir vairākas nevienlīdzības, kas atdalītas ar un vai vai. Lai atrisinātu saliktās nevienādības, atrisiniet nevienādības atsevišķi un gala risinājumam veiciet iegūto atrisinājumu krustpunktu, ja nevienādības atdala ar un un veiciet iegūto atrisinājumu savienošanu, ja nevienādības atdala ar vai.

Piemērs: Atrisiniet: 4x + 6 <10 un 5x + 2 < 12

Risinājums:

Vispirms atrisiniet 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Atņemot 6 no abām pusēm]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 vai (-∞, 1) —–(i)

Otrais risinājums 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Atņemot 2 no abām pusēm]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 vai (-∞, 2) ——-(ii)

No (i) un (ii) mums ir divi risinājumi x <1 un x < 2.

Galīgajam risinājumam mēs ņemam krustojumu, jo nevienādības tiek atdalītas ar un.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Galīgais risinājums dotajai salikto nevienādībai ir (-∞, 1).

Lasīt vairāk

• Saliktās nevienlīdzības
• Lineāro nevienlīdzību vārdu problēmas
• Trijstūra nevienlīdzība

Atrisināt kvadrātiskās nevienādības

Ņemsim piemēru, lai atrisinātu absolūtās vērtības nevienlīdzības.

Piemērs: Atrisiniet nevienādību: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Risinājums:

Tālāk ir norādītas darbības, lai atrisinātu nevienlīdzību: x²– 7x + 6 ≥ 0

1. darbība: Uzrakstiet nevienādību vienādojuma veidā:

x²– 7x + 6 = 0

2. darbība: Atrisiniet vienādojumu:

x²– 7x + 6 = 0

x²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1 (x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 un x = 1

No iepriekšējā soļa iegūstam vērtības x = 6 un x = 1

3. darbība: No iepriekšminētajām vērtībām intervāli ir (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Tā kā nevienādība ir ≥, kas ietver vienādu ar, tāpēc iegūtajām vērtībām izmantojam slēgtās iekavas.

4. darbība: Iepriekš minēto intervālu skaitļu līnijas attēlojums.

5. darbība: Paņemiet nejaušus skaitļus starp katru intervālu un pārbaudiet, vai tas atbilst vērtībai. Ja tas apmierina, iekļaujiet risinājumā intervālu.

Intervālam (-∞, 1] gadījuma vērtība ir -1.

Ieliekot x = -1 nevienādībā x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (patiesa)

Intervālam [1, 6] gadījuma vērtība ir 2.

Ievietojot x = 0 nevienādībā x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (nepatiess)

Intervālam [6, ∞) lai nejaušības vērtība ir 7.

Ieliekot x = 7 nevienādībā x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (patiesa)

6. darbība: Tātad absolūtās vērtības nevienādības x risinājums²– 7x + 6 ≥ 0 ir intervāls (-∞, 1] ∪ [6, ∞), jo tas apmierina nevienādību, ko var attēlot uz skaitļu līnijas šādi:

Kā atrisināt absolūto vērtību nevienlīdzību

Ņemsim piemēru, lai atrisinātu absolūtās vērtības nevienlīdzības.

Piemērs: Atrisiniet nevienādību: |y + 1| ≤ 2

Risinājums:

Tālāk ir norādītas nevienlīdzības risināšanas darbības: |y + 1| ≤ 2

1. darbība: Uzrakstiet nevienādību vienādojuma veidā:

|y + 1| = 2

2. darbība: Atrisiniet vienādojumu:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 un y + 1 = – 2

y = 1 un y = -3

No iepriekšējā soļa iegūstam vērtības y = 1 un y = -3

3. darbība: No iepriekšminētajām vērtībām intervāli ir (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Tā kā nevienādība ir ≤, kas ietver vienādu ar, tāpēc iegūtajām vērtībām izmantojam slēgtās iekavas.

4. darbība: Iepriekš minēto intervālu skaitļu līnijas attēlojums.

5. darbība: Paņemiet nejaušus skaitļus starp katru intervālu un pārbaudiet, vai tas atbilst vērtībai. Ja tas apmierina, iekļaujiet risinājumā intervālu.

Intervālam (-∞, -3] gadījuma vērtība ir -4.

Ieliekot y = -4 nevienādībā |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (nepatiess)

Intervālam [-3, 1] gadījuma vērtība ir 0.

Ieliekot y = 0 nevienādībā |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (patiesa)

Intervālam [1, ∞) lai nejaušības vērtība ir 2.

Ieliekot y = 2 nevienādībā |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (nepatiess)

6. darbība: Tātad absolūtās vērtības nevienādības |y + 1| risinājums ≤ 2 ir intervāls [-3, -1], jo tas apmierina nevienlīdzību, ko var attēlot uz skaitļu līnijas šādi:

Kā atrisināt racionālās nevienlīdzības

Ņemsim piemēru, lai atrisinātu racionālas nevienlīdzības.

Piemērs: Atrisiniet nevienādību: (x + 3) / (x – 1) <2

Risinājums:

java iegūst pašreizējo datumu

Tālāk ir norādītas darbības, lai atrisinātu nevienlīdzību:

1. darbība: Uzrakstiet nevienādību vienādojuma veidā: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x - 1) = 2

2. darbība: Atrisiniet vienādojumu:

(x + 3) / (x - 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

No iepriekšējā soļa iegūstam vērtību x = 5

3. darbība: No iepriekšminētajām vērtībām intervāli ir (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Tā kā nevienlīdzība ir

Tā kā, ja x = 1, nevienādība nav definēta, mēs ņemam atvērtu iekava x = 1.

4. darbība: Iepriekš minēto intervālu skaitļu līnijas attēlojums.

5. darbība: Paņemiet nejaušus skaitļus starp katru intervālu un pārbaudiet, vai tas atbilst vērtībai. Ja tas apmierina, iekļaujiet risinājumā intervālu.

Intervālam (-∞, 1) gadījuma vērtība ir 0.

Ievietojot x = 0 nevienādībā (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0–1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (patiesa)

Intervālam (1, 5) ļaujiet nejaušajai vērtībai būt 2.

Ievietojot x = 3 nevienādībā (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3–1) <2

⇒ 6/2 <2

⇒ 3 <2 (nepatiesi)

Intervālam (5, ∞) lai nejaušības vērtība ir 2.

Ievietojot y = 6 nevienādībā (x + 3) / (x - 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6–1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (patiesa)

6. darbība: Tātad absolūtās vērtības nevienādības (x + 3) / (x – 1) risinājums <2 ir intervāls (-∞, 1) ∪ (5, ∞), jo tas apmierina nevienādību, ko var attēlot uz skaitļu līnijas šādi:

Kā atrisināt lineāro nevienlīdzību ar diviem mainīgajiem

Ņemsim piemēru, lai atrisinātu lineāro nevienlīdzību ar diviem mainīgajiem.

Piemērs: Atrisināt: 20x + 10y ≤ 60

Risinājums:

Apsveriet x = 0 un ievietojiet to dotajā nevienādībā

⇒ 20x + 10g ≤ 60

Rajesh Khanna

⇒ 20(0) + 10 g ≤ 60

⇒ 10 g. ≤ 60

⇒ un ≤ 6 — (i)

Tagad, kad x = 0, y var būt no 0 līdz 6.

Tāpat vērtību ielikšana nevienlīdzībā un tā pārbaude apmierina nevienlīdzību.

Ja x = 1, y var būt no 0 līdz 4.

Ja x = 2, y var būt no 0 līdz 2.

Ja x = 3, y var būt 0.

Iespējamais risinājums dotajai nevienādībai ir (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Nevienlīdzību sistēmas

Nevienādību sistēmas ir divu vai vairāku nevienādību kopa ar vienu vai vairākiem mainīgajiem. Nevienādību sistēmas satur vairākas nevienādības ar vienu vai vairākiem mainīgajiem.

Nevienlīdzību sistēmai ir šāda forma:

a_vienpadsmitx₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃…….. + a_1nx_{n 1}

a_{divdesmitviens}x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃…….. + a_2nx_{n 2}

a_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃…….. + a_nnx_{n n}

Nevienādību sistēmu grafiskais attēlojums

Nevienlīdzību sistēma ir vairāku nevienlīdzību grupa. Vispirms atrisiniet katru nevienādību un uzzīmējiet grafiku katrai nevienādībai. Visu nevienādību grafika krustpunkts attēlo nevienādību sistēmu grafiku.

Apsveriet piemēru,

Piemērs: Nevienādību sistēmu diagrammas diagramma

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Risinājums:

Diagramma 2x + 3y ≤ 6

Diagrammas ēnotais apgabals ir 2x + 3y ≤ 6

Diagramma x ≤ 3

Ēnotais apgabals apzīmē x ≤ 3

Diagramma y ≤ 2

Aizēnotais apgabals apzīmē y ≤ 2

Dotās nevienādību sistēmas grafiks

Aizēnotais apgabals attēlo doto nevienlīdzību sistēmu.

Nevienlīdzība – FAQ

Kāds ir nevienlīdzības jēdziens?

Nevienādības ir matemātiskas izteiksmes, kurās izteiksmes LHS un RHS ir nevienādas.

Kādi ir nevienlīdzības simboli?

Nevienādību simboli ir:>, <, ≥, ≤ un ≠.

Kas ir nevienlīdzības pārejošā īpašība?

Nevienādību pārejas īpašība nosaka, ka, ja a, b, c ir trīs skaitļi, tad

• Ja a> b un b> c, tad a> c
• Ja
• Ja a ≥ b un b ≥ c, tad a ≥ c
• Ja a ≤ b un b ≤ c, tad a ≤ c