Priekšnosacījumi: BIT Dotos 'n' līnijas segmentos katrs no tiem ir vai nu horizontāls, vai vertikāls, atrodiet maksimālo trīsstūru skaitu (ieskaitot trijstūrus ar nulles laukumu), ko var izveidot, savienojot līniju segmentu krustpunktus. Divi horizontālie līniju segmenti nepārklājas, kā arī divi vertikāli līniju segmenti. Līnija tiek attēlota, izmantojot divus punktus (četri veseli skaitļi, pirmie divi ir attiecīgi pirmā punkta x un y koordinātas, bet pārējie divi ir otrā punkta x un y koordinātas) Piemēri:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
Ideja ir balstīta uz Slaucīšanas līnijas algoritms . Risinājuma izveide soļos:
- Saglabājiet vektorā abus visu līniju segmentu punktus ar atbilstošo notikumu (aprakstīts tālāk) un kārtojiet visus punktus to x koordinātu secībā, kas nesamazinās.
- Tagad iedomāsimies vertikālu līniju, ko velkam pa visiem šiem punktiem, un aprakstīsim 3 notikumus, pamatojoties uz to, kurā punktā mēs šobrīd atrodamies:
- a vertikāla līnija
- Mēs saucam reģionu 'aktīvs' vai horizontālās līnijas 'aktīvs' kuriem ir bijis pirmais pasākums, bet ne otrais. Mums būs BIT (binārais indeksēts koks), lai saglabātu visu aktīvo līniju "y" koordinātas.
- Kad rinda kļūst neaktīva, mēs noņemam tās “y” no BIT.
- Kad notiek trešā tipa notikums, tas ir, kad mēs atrodamies pie vertikālās līnijas, mēs vaicājam koku tā 'y' koordinātu diapazonā un pievienojam rezultātu līdzšinējo krustošanās punktu skaitam.
- Beidzot mums būs jāsaka krustošanās punktu skaits m tad trīsstūru skaits (ieskaitot nulles laukumu) būs mC3 .
iekšā - horizontālas līnijas segmenta galējais kreisais punktsārā - horizontālas līnijas segmenta galējais labais punktsPiezīme: Mums ir rūpīgi jāsakārto punkti apskatīt cmp() funkciju ieviešanā skaidrības labad.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Izvade:
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Palīgtelpa: O(maksimālais), kur max = 1000005