Līnijas vienādojums plaknē ir dots kā y = mx + C kur x un y ir plaknes koordinātas, m ir taisnes slīpums un C ir krustpunkts. Tomēr līnijas konstrukcija neaprobežojas tikai ar plakni.

Mēs zinām, ka līnija ir ceļš starp diviem punktiem. Šie divi punkti var atrasties jebkur neatkarīgi no tā, vai tie varētu būt vienā plaknē vai kosmosā. Plaknes gadījumā līnijas atrašanās vietu raksturo divas koordinātas, kas sakārtotas sakārtotā pārī, kas norādītas kā (x, y), turpretim telpas gadījumā punkta atrašanās vietu raksturo trīs koordinātes, kas izteiktas kā (x) , y, z).

Šajā rakstā mēs uzzināsim dažādas līniju vienādojumu formas 3D telpā.

Satura rādītājs

• Kas ir līnijas vienādojums?
• Līniju vienādojums 3D
• Taisnes vienādojuma Dekarta forma 3D
• Līnijas vienādojuma vektora forma 3D
• 3D līniju formulas
• Atrisināti piemēri par taisnes vienādojumu 3D formātā

Kas ir līnijas vienādojums?

Līnijas vienādojums ir algebrisks veids, kā izteikt līniju ar to punktu koordinātām, kurus tā savieno. Līnijas vienādojums vienmēr būs a lineārais vienādojums .

Ja mēģināsim uzzīmēt punktus, kas iegūti no lineāra vienādojuma, tas būs a taisne . Līnijas standarta vienādojums ir norādīts šādi:

ax + by + c = 0

kur,

• a un b ir x un y koeficienti
• c ir pastāvīgs termiņš

Citas līnijas vienādojuma formas ir minētas zemāk:

Tagad mēs iemācīsimies līnijas vienādojumu 3D formātā.

Līniju vienādojums 3D

Taisnes vienādojumam 3D formātā ir nepieciešami divi punkti, kas atrodas telpā. Katra punkta atrašanās vieta tiek norādīta, izmantojot trīs koordinātas, kas izteiktas kā (x, y, z).

Līnijas 3D vienādojums ir dots divos formātos, dekarta forma un vektora forma . Šajā rakstā mēs iemācīsimies taisnes vienādojumu 3D formātā gan Dekarta, gan vektora formā, kā arī iemācīsimies atvasināt vienādojumu. Tālāk ir norādīti dažādi līnijas vienādojuma gadījumi:

• Dekarta līnijas forma
  • Līnija, kas iet cauri diviem punktiem
  • Līnija, kas iet caur noteiktu punktu un paralēli noteiktam vektoram
• Līnijas vektora forma
  • Līnija, kas iet cauri diviem punktiem
  • Līnija, kas iet caur noteiktu punktu un paralēli noteiktam vektoram

Taisnes vienādojuma Dekarta forma 3D

Līnijas taisnleņķa forma tiek noteikta, izmantojot divu punktu koordinātas, kas atrodas telpā, no kuras līnija iet. Šeit mēs apspriedīsim divus gadījumus, kad taisne iet caur diviem punktiem un kad taisne iet caur punktiem un ir paralēla vektoram.

1. gadījums: 3D taisnes vienādojums taisnleņķa formā, kas iet caur diviem punktiem

Pieņemsim, ka mums ir divi punkti A un B, kuru koordinātas ir norādītas kā A(x₁, un₁, Ar₁) un B(x₂, un₂, Ar₂).

virknes apakšvirkne java

Tad taisnes 3D vienādojums dekarta formā tiek dots kā

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

kur x, y un z ir taisnstūra koordinātas.

Caur diviem punktiem ejošas taisnes vienādojuma atvasināšana

Mēs varam iegūt taisnās līnijas 3D vienādojuma Dekarta formu, izmantojot šādas minētās darbības:

• 1. darbība: Atrodiet DR (virziena attiecības), ņemot vērā divu norādīto punktu atbilstošo pozīcijas koordinātu starpību. l = (x₂– x₁), m = (un₂- un₁), n = (z₂- Ar₁); Šeit l, m, n ir DR.
• 2. darbība: Izvēlieties vienu no diviem dotajiem punktiem, piemēram, mēs izvēlamies (x₁, un₁, Ar₁).
• 3. darbība: Uzrakstiet vajadzīgo taisnes vienādojumu, kas iet caur punktiem (x₁, un₁, Ar₁) un (x₂, un₂, Ar₂).
• 4. darbība: Taisnes 3D vienādojums dekarta formā ir dots kā L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(un₂- un₁) = (z – z₁)/(Ar₂- Ar₁)

Kur (X un Z) ir jebkura mainīga punkta pozīcijas koordinātas, kas atrodas uz taisnes.

Piemērs: Ja taisne iet caur diviem fiksētiem punktiem 3-dimensijā, kuru pozīcijas koordinātas ir P (2, 3, 5) un Q (4, 6, 12), tad tās taisnleņķa vienādojumu, izmantojot divu punktu formu, dod

Risinājums:

l = (4–2), m = (6–3), n = (12–5)

l = 2, m = 3, n = 7

bash elifs

Punkta P izvēle (2, 3, 5)

Nepieciešamais līnijas vienādojums

L: (x–2) / 2 = (y–3) / 3 = (z–5) / 7

2. gadījums: taisnleņķa 3D vienādojums, kas iet caur punktu un paralēli dotajam vektoram

Pieņemsim, ka taisne iet caur punktu P(x₁, un₁, Ar₁) un ir paralēls vektoram, kas dots kāvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Tad līnijas vienādojums tiek dots kā

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

kur x, y, z ir taisnstūra koordinātas un a, b, c ir virziena kosinusus.

Dekarta taisnes 3D vienādojuma atvasināšana, kas iet caur punktu un paralēli dotajam vektoram

Pieņemsim, ka mums ir punkts P, kura pozīcijas vektors ir dots kāvec pno izcelsmes. Ļaujiet taisnei, kas iet caur P, ir paralēla citam vektoramvec n. Ņemsim punktu R uz taisnes, kas iet caur P, tad R pozīcijas vektors tiek dots kāvec r .

Tā kā PR ir paralēlsvec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Tagad, ja mēs virzāmies pa līniju PR, jebkura punkta koordinātei, kas atrodas uz līnijas, būs koordināte formā (x₁+ λa), (un₁+ λb), (z₁+ λc), kur λ ir parametrs, kura vērtība ir no -∞ līdz +∞ atkarībā no virziena no P, kur mēs pārvietojamies.

Tādējādi jaunā punkta koordinātas būs

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/a

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

Salīdzinot iepriekš minētos trīs vienādojumus, mums ir līnijas vienādojums kā

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Piemērs: Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu (2, 1, 3) un ir paralēla vektoram 3i – 2j + k

Risinājums:

Taisnes vienādojums, kas iet caur punktu un ir paralēls vektoram, ir dots kā

(x–x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

No mūsu jautājuma izriet, ka x₁= 2 un₁= 1, z₁= 3 un a = 3, b = -2 un c = k. Tādējādi nepieciešamais līnijas vienādojums būs

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1)/-2 = (z – 3)/1

Līnijas vienādojuma vektora forma 3D

Līnijas vienādojuma vektora forma 3D formātā ir dota, izmantojot vektora vienādojumu, kas ietver punktu pozīcijas vektoru. Šajā virsrakstā mēs iegūsim taisnes 3D vienādojumu vektora formā diviem gadījumiem.

1. gadījums: 3D vienādojums taisnei, kas iet cauri diviem punktiem vektora formā

Pieņemsim, ka mums ir divi punkti A un B, kuru pozīcijas vektors ir dots kāvec aunvec b.

Tad taisnes L vektora vienādojums tiek dots kā

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

kur(vec b – vec a)ir attālums starp diviem punktiem un λ ir parametrs, kas atrodas uz līnijas.

Taisnes, kas iet cauri diviem punktiem, 3D vienādojuma atvasināšana vektora formā

Pieņemsim, ka mums ir divi punkti A un B, kuru pozīcijas vektors ir dots kāvec aunvec b. Tagad mēs zinām, ka līnija ir attālums starp jebkuriem diviem punktiem. Tādējādi, lai iegūtu attālumu, mums ir jāatņem divi pozīcijas vektori.

⇒vec d = vec b – vec a

kādi mēneši ir Q3

Tagad mēs zinām, ka jebkurš punkts šajā taisnē tiks norādīts kā pozīcijas vektora summavec a space or space vec b ar parametra λ un attāluma starp diviem punktiem pozīcijas vektora reizinājumu t.i.vec d

Tādējādi līnijas vienādojums vektora formā būsvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)vaivec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Piemērs. Atrodiet vektora vienādojumu taisnei 3D formātā, kas iet caur diviem punktiem, kuru pozīcijas vektori ir norādīti kā 2i + j – k un 3i + 4j + k

Risinājums:

Ņemot vērā, ka abi pozīcijas vektori ir doti kā 2i + j – k un 3i + 4j + k

Attālums d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Mēs zinām, ka līnijas vienādojums ir dots kāvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Tādējādi līnijas vienādojums būsvec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

2. gadījums: 3D līnijas vienādojuma vektora forma, kas iet caur punktu un paralēli vektoram

Pieņemsim, ka mums ir punkts P, kura pozīcijas vektors ir norādīts kāvec p. Lai šī taisne ir paralēla citai taisnei, kuras pozīcijas vektors ir dots kāvec d .

Tad līnijas “l” vektora vienādojums tiek dots kā

vec l = vec p + lambda vec d

kur λ ir parametrs, kas atrodas uz līnijas.

3D vienādojuma vektora formas atvasinājums taisnei, kas iet caur punktu un paralēli vektoram

Aplūkosim punktu P, kura pozīcijas vektors ir dots kāvec p. Tagad pieņemsim, ka šī taisne ir paralēla vektoramvec dtad līnijas vienādojums būsvec l = lambda vec d. Tā kā taisne iet arī caur punktu P, tad, attālinoties no punkta P jebkurā taisnes virzienā, punkta pozīcijas vektors būs šādā formā:vec p + lambda vec d . Tādējādi līnijas vienādojums būsvec l = vec p + lambda vec dkur λ ir parametrs, kas atrodas uz līnijas.

Piemērs: Atrodiet vektoru vienādojumam taisnei, kas iet caur punktu (-1, 3, 2) un ir paralēla vektoram 5i + 7j – 3k.

Risinājums:

Mēs zinām, ka taisnes, kas iet caur punktu un paralēli vektoram, vienādojuma vektora forma ir dota kāvec l = vec p + lambda vec d

Ņemot vērā, ka punkts ir (-1, 3, 2), tātad punkta pozīcijas vektors būs -i + 3j + 2k un dotais vektors ir 5i + 7j – 3k.

javascript cilpai

Tāpēc nepieciešamais līnijas vienādojums būsvec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j - 3k).

3D līniju formulas

Līdzīgi lasījumi

• Taisnas līnijas vienādojums
• Pieskares un normālais
• Līnijas slīpums

Atrisināti piemēri par taisnes vienādojumu 3D formātā

Praktizējiet līniju vienādojumus 3D formātā ar šiem atrisinātajiem prakses jautājumiem.

1. piemērs: Ja taisne iet caur diviem fiksētiem punktiem 3-dimensijā, kuru pozīcijas vektori ir (2 i + 3 j + 5 k) un (4 i + 6 j + 12 k), tad tās vektora vienādojums, izmantojot divu punktu formu piešķir

Risinājums:

{vec {p}}= (4 i + 6 j + 12 k ) - (2 i + 3 j +5 k )

{vec {p}}= (2 i + 3 j +7 k ) ; Šeit{vec {p}}ir vektors, kas ir paralēls taisnei

Pozīcijas vektora izvēle (2 i + 3 j +5 k )

Nepieciešamais taisnes vienādojums

L :{vec {r}}= (2 i + 3 j +5 k ) + t . (2 i + 3 j +7 k )

2. piemērs: ja taisne iet caur diviem fiksētiem punktiem 3-dimensiju telpā, kuru pozīcijas koordinātas ir (3, 4, -7) un (1, -1, 6), tad tās vektora vienādojums, izmantojot divu punktu formu piešķir

Risinājums:

Doto punktu pozīcijas vektori būs (3 i + 4 j – 7 k) un (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k) ; Šeit{vec {p}}ir vektors, kas ir paralēls taisnei

Pozīcijas vektora izvēle (i – j + 6 k)

Nepieciešamais taisnes vienādojums

L :{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j–13 k)

3. piemērs: Ja taisne iet caur diviem fiksētiem punktiem 3-dimensijā, kuru pozīcijas vektori ir (5 i + 3 j + 7 k) un (2 i + j - 3 k), tad tās vektora vienādojums, izmantojot divu punktu formu dod

Risinājums:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j - 3 k)

{vec {p}}= (3 i + 2 j + 10 k); Šeit{vec {p}}ir vektors, kas ir paralēls taisnei

Pozīcijas vektora izvēle (2 i + j – 3 k)

Nepieciešamais taisnes vienādojums

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10 k)

4. piemērs: ja taisne iet caur diviem fiksētiem punktiem 3 dimensijā, kuru pozīcijas koordinātas ir A (2, -1, 3) un B (4, 2, 1), tad tās taisnleņķa vienādojums, izmantojot divu punktu. formu piešķir

dfs algoritms

Risinājums:

l = (4–2), m = (2–(–1)), n = (1–3)

l = 2, m = 3, n = -2

Punkta A izvēle (2, -1, 3)

Nepieciešamais līnijas vienādojums

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z - 3) / -2 vai

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 - z) / 2

5. piemērs: Ja taisne iet caur diviem fiksētiem punktiem 3-dimensijā, kuru pozīcijas koordinātas ir X (2, 3, 4) un Y (5, 3, 10), tad tās taisnleņķa vienādojumu, izmantojot divu punktu formu, dod

Risinājums:

l = (5–2), m = (3–3), n = (10–4)

l = 3, m = 0, n = 6

Punkta X izvēle (2, 3, 4)

Nepieciešamais līnijas vienādojums

L : (x–2) / 3 = (y–3) / 0 = (z–4) / 6 vai

L: (x–2) / 1 = (y–3) / 0 = (z–4) / 2

Līnijas vienādojums 3D — FAQ

Kas ir līnijas vienādojums 3D formātā?

Taisnes vienādojums 3D formātā ir norādīts kā (x – x₁)/(x₂– x₁) = (y – y₁)/(un₂- un₁) = (z – z₁)/(Ar₂- Ar₁)

Kas ir taisnes vienādojuma Dekarta forma 3D formātā?

Līnijas vienādojuma Dekarta forma 3D formātā ir dota diviem gadījumiem

1. gadījums: kad līnija iet caur diviem punktiem:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

2. gadījums: kad taisne iet caur vienu punktu un ir paralēla vektoram:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Kas ir taisnes vienādojuma vektora forma 3D formātā?

Līnijas vienādojuma vektora forma 3D formātā ir dota diviem gadījumiem:

1. gadījums: līnija, kas iet cauri diviem punktiem:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

2. gadījums: līnijas iet caur punktu un paralēli vektoram:vec l = vec p + lambda vec d

Kas ir līnijas slīpuma punkta vienādojums?

Slīpuma punkts Taisnes vienādojums ir y = mx + C kur m ir slīpums

Kas ir līnijas standarta vienādojums?

Līnijas standarta vienādojums ir ax + x + c = 0