Slavens matemātiķis DeMorgans izgudroja divas svarīgākās Būla algebras teorēmas. DeMorgana teorēmas tiek izmantotas, lai matemātiski pārbaudītu VAI un negatīvo UN vārtu un negatīvo VAI un NAND vārtu ekvivalenci. Šīm teorēmām ir svarīga loma dažādu Būla algebras izteiksmju risināšanā. Zemāk esošajā tabulā ir definēta loģiskā darbība katrai ievades mainīgā kombinācijai.
| Ievades mainīgie | Izvades stāvoklis | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | UN | NAND | VAI | NOR |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
De-Morgana teorēmas noteikumi ir izveidoti no Būla izteiksmēm VAI , UN un NE, izmantojot divus ievades mainīgos x un y. Pirmā Demorgana teorēma saka, ka, ja mēs izpildām divu ievades mainīgo operāciju UN un pēc tam izpildām rezultāta darbību NOT, rezultāts būs tāds pats kā šī mainīgā papildinājuma darbība VAI. DeMorgana otrā teorēma saka, ka, ja mēs veicam divu ievades mainīgo darbību VAI un pēc tam veicam NAV rezultāta darbību, rezultāts būs tāds pats kā šī mainīgā papildinājuma darbība UN.
De-Morgana pirmā teorēma
Saskaņā ar pirmo teorēmu operācijas UN komplementa rezultāts ir vienāds ar šī mainīgā papildinājuma darbību VAI. Tādējādi tā ir līdzvērtīga funkcijai NAND un ir negatīva VAI funkcija, kas pierāda, ka (A.B)' = A'+B', un mēs to varam parādīt, izmantojot šo tabulu.
| Ievades | Katra termiņa izvade | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (A.B)” | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
De-Morgana otrā teorēma
Saskaņā ar otro teorēmu operācijas VAI komplementa rezultāts ir vienāds ar šī mainīgā papildinājuma darbību UN. Tādējādi tā ir līdzvērtīga funkcijai NOR un ir negatīva UN funkcija, kas pierāda, ka (A+B)' = A'.B', un mēs to varam parādīt, izmantojot šādu patiesības tabulu.
| Ievades | Katra termiņa izvade | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ņemsim dažus piemērus, kuros ņemam dažas izteiksmes un pielietojam DeMorgana teorēmas.
1. piemērs: (A.B.C)”
(A.B.C)'=A'+B'+C'
2. piemērs: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
3. piemērs: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Lai piemērotu DeMorgana teorēmu šai izteiksmei, mums ir jāievēro šādas izteiksmes:
1) Pilnīgā izteiksmē, pirmkārt, mēs atrodam tos terminus, uz kuriem varam pielietot DeMorgana teorēmu un katru terminu uzskatīt par vienu mainīgo.
Tātad,
2) Tālāk mēs pielietojam DeMorgana pirmo teorēmu. Tātad,
3) Tālāk mēs izmantojam noteikumu numuru 9, t.i., (A=(A')'), lai atceltu dubultās joslas.
4) Tālāk mēs pielietojam DeMorgana otro teorēmu. Tātad,
5) Atkal piemērojiet noteikuma numuru 9, lai atceltu dubulto joslu
Tagad šai izteiksmei nav termina, kurā mēs varētu piemērot kādu noteikumu vai teorēmu. Tātad, šī ir pēdējā izteiksme.
3. piemērs: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
java virkni masīvā
