Lai A, B un C ir kopas, un lai R ir attiecība no A līdz B un lai S ir attiecība no B līdz C. Tas ir, R ir A × B apakškopa un S ir B × apakškopa. C. Tad R un S rada attiecību no A līdz C, ko apzīmē ar R◦S un definē ar:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

Sakarība R◦S ir zināma R un S sastāvs; to dažreiz apzīmē vienkārši ar RS.

Pieņemsim, ka R ir kopas A relācija, tas ir, R ir kopas A attiecība pret sevi. Tad vienmēr tiek attēlots R◦R, R sastāvs ar sevi. Arī R◦R dažreiz apzīmē ar R². Līdzīgi R³= R²◦R = R◦R◦R un tā tālāk. Tādējādi Rⁿir definēts visiem pozitīvajiem n.

izlaist sarakstu

1. piemērs: Pieņemsim, ka X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} un Z = {l, m, n}. Apsveriet attiecību R₁no X uz Y un R₂no Y līdz Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

Atrodiet attiecības sastāvu (i) R₁R₂ (ii) R₁R₁^-1

Risinājums:

(i) sastāva attiecība R₁R₂kā parādīts attēlā:

R₁R₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) sastāva attiecība R₁R₁^-1kā parādīts attēlā:

R₁R₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Attiecību un matricu sastāvs

Ir vēl viens veids, kā atrast R◦S. Ļaujiet M_Run M_Sapzīmē attiecīgi relāciju R un S matricas atveidojumus. Tad

Piemērs

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

Risinājums: Attiecības R un S matricas ir parādītas attēlā:

gimp noņemt ūdenszīmi

(i) Lai iegūtu attiecības R un S sastāvu. Vispirms reiziniet M_Rar M_Slai iegūtu matricu M_Rx M_Skā parādīts attēlā:

Ieraksti, kas nav nulles matricā M_Rx M_Sstāsta RoS saistītos elementus. Tātad,

Līdz ar to attiecības R un S sastāvs R o S ir

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) Vispirms reiziniet matricu M_Rpats par sevi, kā parādīts attēlā

Līdz ar to attiecības R un S sastāvs R o R ir

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) Reiziniet matricu M_Sar M_Rlai iegūtu matricu M_Sx M_Rkā parādīts attēlā:

Ieraksti, kas atšķiras no nulles matricā M_Sx M_Rstāsta par elementiem, kas saistīti ar S o R.

unix vs Windows

Līdz ar to attiecības S un R sastāvs S o R ir

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.