Laukums zem līknes ir laukums, ko aptver līkne un koordinātu asis, to aprēķina, ņemot ļoti mazus taisnstūrus un pēc tam ņemot to summu, ja mēs ņemam bezgalīgi mazus taisnstūrus, tad to summu aprēķina, ņemot vērā šādi izveidotās funkcijas robežu.

Dotajai funkcijai f(x), kas definēta intervālā [a, b], laukums (A) zem f(x) līknes no “a” līdz “b” tiek dots A = ∫ _a ^b f(x)dx . Laukumu zem līknes aprēķina, ņemot funkcijas absolūto vērtību intervālā [a, b], kas summēta diapazonā.

Šajā rakstā mēs detalizēti uzzināsim par laukumu zem līknes, tā lietojumiem, piemēriem un citiem.

Satura rādītājs

• Kas ir laukums zem līknes?
• Laukuma zem līknes aprēķināšana
• Izmantojot Reimaņa summas
• Noteikto integrāļu izmantošana
• Aptuvenais laukums zem līknes
• Aprēķinot laukumu zem līknes
• Platība zem līknes formulas

Kas ir laukums zem līknes?

Apgabals zem līknes ir apgabals, ko aptver jebkura līkne ar x asi un noteiktiem robežnosacījumiem, t.i., laukums, ko ierobežo funkcija y = f(x), x-ass un līnija x = a un x = b. Dažos gadījumos ir tikai viens robežnosacījums vai nav neviena, jo līkne attiecīgi vienu vai divas reizes krustojas ar x asi.

Laukumu zem līknes var aprēķināt, izmantojot dažādas metodes, piemēram, Reimaņa summu un Noteikts integrālis un mēs varam arī tuvināt laukumu, izmantojot pamata formas, t.i., trīsstūri, taisnstūri, trapeci utt.

Lasiet sīkāk: Aprēķini matemātikā

Laukuma zem līknes aprēķināšana

Lai aprēķinātu laukumu zem līknes, mēs varam izmantot šādas metodes, piemēram:

• Izmantojot Reimaņa summas
• Noteikto integrāļu izmantošana
• Izmantojot aproksimāciju

Sīkāk izpētīsim šīs metodes šādi:

Izmantojot Reimaņa summas

Reimanis Sums tiek aprēķināts, sadalot dotās funkcijas grafiku mazākos taisnstūros un summējot katra taisnstūra laukumus. Jo vairāk taisnstūri tiek ņemti vērā, sadalot norādīto intervālu, jo precīzāks ir šīs pieejas aprēķinātais laukums; tomēr, jo vairāk apakšintervālu mēs ņemam vērā, jo grūtāk aprēķini kļūst.

Reimaņa summu var iedalīt vēl trīs kategorijās, piemēram:

• Pa kreisi Reimann Sum
• Pareizi Reimanis Summa
• Viduspunkts Reimanis Summa

Platība, izmantojot Reimaņa summu, ir norādīta šādi:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

kur,

• f(x _i ) ir integrējamās funkcijas vērtība i ^th parauga punkts
• Δx = (b-a)/n ir katra apakšintervāla platums,
  • a un b ir integrācijas robežas un
  • n ir apakšintervālu skaits
• ∑ apzīmē visu terminu summu no i=1 līdz n,

Piemērs: Atrodiet laukumu zem līknes funkcijai f(x) = x ² starp robežām x = 0 un x = 2.

Risinājums:

Mēs vēlamies atrast laukumu zem šīs funkcijas līknes starp x = 0 un x = 2. Lai aproksimētu laukumu, mēs izmantosim kreiso Reimaņa summu ar n = 4 apakšintervāliem.

Aprēķināsim laukumu zem līknes, izmantojot 4 apakšintervālus.

Tādējādi apakšintervālu platums, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Visi 4 apakšintervāli ir,

kas ir objekts java

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

x₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Tagad mēs varam novērtēt funkciju ar šīm x vērtībām, lai atrastu katra taisnstūra augstumus:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Laukumu zem līknes tagad var tuvināt, summējot to taisnstūru laukumus, ko veido šie augstumi:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Tāpēc laukums zem f(x) līknes = x²starp x = 0 un x = 2, tuvināts, izmantojot kreiso Reimaņa summu ar 4 apakšintervāliem, ir aptuveni 1,25.

Noteikto integrāļu izmantošana

Noteiktais integrāls ir gandrīz tāds pats kā Reimaņa summa, bet šeit apakšintervālu skaits tuvojas bezgalībai. Ja funkcija ir dota intervālam [a, b], tad noteiktais integrālis tiek definēts šādi:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Noteikts integrālis norāda precīzu laukumu zem līknes, atšķirībā no Reimaņa summas. Noteikto integrāli aprēķina, atrodot funkcijas antiatvasinājumu un novērtējot to integrācijas robežās.

Teritorija ar cieņu pret X-asi

Zemāk esošajā attēlā redzamā līkne ir attēlota, izmantojot y = f(x). Mums jāaprēķina laukums zem līknes attiecībā pret x asi. Līknes robežvērtības uz x ass ir attiecīgi a un b. Laukumu A zem šīs līknes attiecībā pret x asi aprēķina starp punktiem x = a un x = b. Apsveriet šādu līkni:

Formulu laukumam zem līknes w.r.t pret x asi nosaka:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

kur,

• A ir laukums zem līknes
• un vai f(x) ir līknes vienādojums
• a, un b ir x vērtības vai integrācijas robeža, kurai mums jāaprēķina laukums

Apgabals attiecībā pret Y-asi

Iepriekš attēlā redzamā līkne ir attēlota, izmantojot x = f(y). Mums jāaprēķina laukums zem līknes attiecībā pret Y asi. Līknes robežvērtības uz Y ass ir attiecīgi a un b. Laukums A zem šīs līknes attiecībā pret Y asi starp punktiem y = a un y = b. Apsveriet šādu līkni:

Formulu laukumam zem līknes w.r.t pret y asi nosaka:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

kur,

• A ir laukums zem līknes
• x vai f(y) ir līknes vienādojums
• a, b ir y-pārtveršanas vietas

Uzzināt vairāk, Platība starp divām līknēm

Aptuvenais laukums zem līknes

Lai noteiktu laukumu zem līknes, tiek izmantotas vienkāršas ģeometriskas formas, piemēram, taisnstūri vai trapeces, lai novērtētu laukumu zem līknes. Šī metode ir noderīga, ja funkciju ir grūti integrēt vai ja nav iespējams atrast funkcijas antiatvasinājumu. Aproksimācijas precizitāte ir atkarīga no izmantoto formu izmēra un skaita.

Aprēķinot laukumu zem līknes

Mēs varam viegli aprēķināt dažādu līkņu laukumu, izmantojot dotajā rakstā aplūkotos jēdzienus. Tagad aplūkosim dažus piemērus, kā aprēķināt laukumu zem līknes dažām izplatītākajām līknēm.

Laukums zem līknes: parabola

Mēs zinām, ka standarta parabola ir sadalīta divās simetriskās daļās vai nu ar x asi, vai ar y asi. Pieņemsim, ka ņemam parabolu y²= 4ax un tad tā laukums jāaprēķina no x = 0 līdz x = a. Un, ja nepieciešams, mēs dubultojam tā laukumu, lai atrastu parabolas laukumu abos kvadrantos.

Aprēķinot laukumu,

un²= 4ax

y = √(4ax)

A = 2∫₀^ay.dx

A = 2∫₀^a√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^a√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Tādējādi laukums zem parabolas no x = 0 līdz x = a ir 8/3a ² kvadrātveida vienības

Laukums zem līknes: aplis

Aplis ir slēgta līkne, kuras apkārtmērs vienmēr atrodas vienādā attālumā no tā centra. Tās laukumu aprēķina, vispirms aprēķinot laukumu pirmajā kvadrantā un pēc tam reizinot to ar 4 visiem četriem kvadrantiem.

Pieņemsim, ka ņemam apli x²+ un²= a²un tad tā laukums jāaprēķina no x = 0 līdz x = a pirmajā kvadrantā. Un, ja nepieciešams, mēs četrkāršojam tā laukumu, lai atrastu apļa laukumu.

Aprēķinot laukumu,

x²+ un²= a²

y = √(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4∫₀^a√ (a²– x²).dx

A = 4[x/2√(a²– x²) + a²/2 bez^-1(x/a)]^a₀

A = 4[{(a/2),0 + a²/2.bez^-1}–0]

A = 4(a²/2)(p/2)

A = πa²

Tādējādi laukums zem apļa ir pa ² kvadrātveida vienības

Laukums zem līknes: elipse

Aplis ir slēgta līkne. Tā laukumu aprēķina, vispirms aprēķinot laukumu pirmajā kvadrantā un pēc tam reizinot to ar 4 visiem četriem kvadrantiem.

Pieņemsim, ka ņemam apli (x/a)²+ (y/b)²= 1 un tad tā laukums jāaprēķina no x = 0 līdz x = a pirmajā kvadrantā. Un, ja nepieciešams, mēs četrkāršojam tā laukumu, lai atrastu elipses laukumu.

Aprēķinot laukumu,

(x/a)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²– x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4b/a∫₀^a√ (a²– x²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²– x²) + a²/2 bez^-1(x/a)]^a₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.bez^-1}–0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Tādējādi laukums zem elipses ir πab kvadrātveida vienības.

Platība zem līknes formulas

Formula dažādu veidu laukumu zem līknes aprēķināšanai ir parādīta tabulā:

Arī Lasīt

• Integrāļi
• Apgabals kā noteikts integrāls

Piemēri laukumam zem līknes

1. piemērs: atrodiet laukumu zem līknes y ² = 12x un X-ass.

Risinājums:

Dotais līknes vienādojums ir y²= 12x

Šis ir parabolas vienādojums ar a = 3 tātad, y²= 4(3)(x)

Nepieciešamā apgabala diagramma ir parādīta zemāk:

X ass sadala iepriekš minēto parabolu 2 vienādās daļās. Tātad, mēs varam atrast laukumu pirmajā kvadrantā un pēc tam reizināt to ar 2, lai iegūtu nepieciešamo laukumu

Tātad, mēs varam atrast nepieciešamo apgabalu kā:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 kv.m

2. piemērs. Aprēķiniet laukumu zem līknes x = y ³ – 9 starp punktiem y = 3 un y = 4.

Risinājums:

Dots, līknes vienādojums ir x = y³– 9

Robežpunkti ir (0, 3) un (0, 4)

Tā kā līknes vienādojums ir formā x = f(y) un punkti atrodas arī uz Y ass, mēs izmantosim formulu,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 kv

3. piemērs: Aprēķiniet laukumu zem līknes y = x ² – 7 starp punktiem x = 5 un x = 10.

Risinājums:

Ņemot vērā, ka līkne ir y = x²−7, un robežpunkti ir (5, 0) un (10, 0)

Tādējādi laukumu zem līknes nosaka:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 kv

4. piemērs. Atrodiet laukumu, ko aptver parabola y ² = 4ax un taisne x = a pirmajā kvadrantā.

Risinājums:

Doto līkni un līniju var novilkt šādi:

Tagad līknes vienādojums ir y²= 4ax

Robežpunkti ir (0, 0) un (a, 0)

Tātad laukumu attiecībā pret X asi var aprēķināt šādi:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

5. piemērs: atrodiet apļa x aptverto laukumu ² + un ² = 25 pirmajā kvadrantā.

Risinājums:

Ņemot vērā, x²+ un²= 25

Līkni var uzzīmēt šādi:

Iepriekš redzamajā attēlā nepieciešamais laukums ir iekrāsots. No vienādojuma redzams, ka apļa rādiuss ir 5 vienības.

Kā, x²+ un²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Lai atrastu apgabalu, mēs izmantosim:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 kv

Bieži uzdotie jautājumi par laukumu zem līknes

Definējiet laukumu zem līknes.

Reģions, ko aptver līkne, ass un robežpunkti, tiek saukts par laukumu zem līknes. Izmantojot koordinātu asis un integrācijas formulu, laukums zem līknes ir noteikts kā divdimensiju laukums.

Kā aprēķināt laukumu zem līknes?

Ir trīs metodes, lai atrastu laukumu zem līknes, proti:

• Reimanis Sums ietver līknes sadalīšanu mazākos taisnstūros un to laukumu pievienošanu, apakšintervālu skaitam ietekmējot rezultāta precizitāti.
• Noteiktie integrāļi ir līdzīgi Reimaņa summām, bet izmanto bezgalīgu skaitu apakšintervālu, lai nodrošinātu precīzu rezultātu.
• Tuvināšanas metodes tiek izmantotas zināmas ģeometriskas formas, lai tuvinātu laukumu zem līknes.

Kāda ir atšķirība starp noteiktu integrāli un Reimaņa summu?

Galvenā atšķirība starp noteiktu integrāli un Reimaņa summu ir tāda, ka noteikts integrālis apzīmē precīzu laukumu zem noteiktās līknes, savukārt Reimaņa summa apzīmē aptuveno laukuma vērtību, un summas precizitāte ir atkarīga no izvēlētā nodalījuma lieluma.

Vai laukums zem līknes var būt negatīvs?

Ja līkne atrodas zem ass vai atrodas koordinātu ass negatīvajos kvadrantos, laukums zem līknes ir negatīvs. Arī šajā gadījumā laukums zem līknes tiek aprēķināts, izmantojot parasto pieeju, un pēc tam risinājums tiek modulēts. Pat gadījumos, kad atbilde ir negatīva, tiek ņemta vērā tikai laukuma vērtība, nevis atbildes negatīvā zīme.

Ko statistikā attēlo laukums zem līknes?

Laukums zem līknes (ROC) ir kvantitatīvās diagnostikas testa precizitātes mērs.

Kā jūs interpretējat apgabala zem līknes zīmi?

Laukuma zīme parāda, ka laukums zem līknes atrodas virs x ass vai zem x ass. Ja laukums ir pozitīvs, tad laukums zem līknes ir virs x ass un, ja tas ir negatīvs, tad laukums zem līknes ir zem x ass.

Kā tiek tuvināts laukums zem līknes?

Segmentējot reģionu mazos taisnstūros, laukumu zem līknes var aptuveni novērtēt. Un, pievienojot šo taisnstūru laukumus, var iegūt laukumu zem līknes.